Datasets:

nyuuzyou

/

svitppt

like 1

https://svitppt.com.ua/algebra/rozkladannya-mnogochlena-na-mnozhniki.html

Розкладання многочлена на множники

https://svitppt.com.ua/uploads/files/5/40c132d642326add8f8ce28fbbea80fe.pptx

files/40c132d642326add8f8ce28fbbea80fe.pptx

Розкладання многочлена на множники УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ Березанської ЗОШ І-ІІІ ступенів Алексєєнко В.І. Розкласти многочлен на множники - Це значить замінити його добутком кількох многочленів. Наприклад: х²-l=(х-l)(х+l) 3а-9ав =3а(1-3в) Способи розкладання многочленів на множники Винесення спільного множника за дужки Спосіб Групування Формули скороченого множення Винесення спільного множника за дужки Винести спільний множник за дужки означає поділити кожен член многочлена на спільний множник. Наприклад 4ab-2ab² = 2ab • 2 - 2ab • b= 2ab 2ab (2-в) 2ab Спосіб групування Спосіб групування означає : Згрупувати ( взяти у дужки) члени многочлена які містять однакові множники ; 2.Винести спільний множник за дужки. аb +ac+хb+хc аb +ac+хb+хc ( аb +ac)+(хb+хc) = = а(b +c)+х(b +c) = (b +c)(а+х) Розкладіть на множники3c­x²+cx­3x 3c­x²+cx­3x = 3c+cx-x² -3x = (3c+cx)+(-x² -3x) = (3c+cx)+(-x² -3x) (3c+cx)-(x² +3x) = = c(3+x)-x (x +3) = (3+x) ( c -x) ФОРМУЛИ СКОРОЧЕННОГО МНОЖЕННЯ a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)² a²­b²=(a+b)(a­b)

https://svitppt.com.ua/algebra/sistemi-liniynih-rivnyan-iz-dvoma-zminnimi.html

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ ДВОМА ЗМІННИМИ

https://svitppt.com.ua/uploads/files/45/b9d241de6790eb5d2c5f4bc03cfe21bd.ppt

files/b9d241de6790eb5d2c5f4bc03cfe21bd.ppt

.

https://svitppt.com.ua/algebra/arifmetichna-ta-geometrichna-progresii.html

Арифметична та геометрична прогресії

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/9f24bcfa327359111e1c876fd907e7a0.pptx

files/9f24bcfa327359111e1c876fd907e7a0.pptx

Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 6 Арифметична та геометрична прогресії Числові послідовності. Властивості числових послідовностей Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії Сума перших n членів арифметичної прогресії Геометрична прогресія. Формула n-го члена геометричної прогресії Сума перших n членів геометричної прогресії Нескінченна геометрична прогресія (|q| < 0) та її сума Розв’язування вправ Види числових послідовностей Арифметична прогресія Геометрична прогресія Послідовність Фібоначчі ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ Італійський купець і мандрівник , син міського писаря ,Леонардо із Пізи (1180-1240р.) , більш відомий під прізвищем Фібоначчі ,був одним із найвідоміших математиків середньовіччя. Роль його книг у розвитку математики і поширенню у Європі математичних знань важко переоцінити. Життя і наукова кар’єра Леонардо тісно пов’язані з розвитком європейської культури і науки. Леонардо Пізанський (Фібоначчі) При розв’язуванні однієї задачі про можливість кількості народження кроликів від однієї пари через рік, він одержав ряд чисел:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…. Особливістю цієї послідовності чисел є те, що кожний її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх, а відношення сусідніх чисел ряду наближається до відношення золотого перерізу, який дуже хвилював голови того часу. Так, 21:34=0,617, а 34:55=0,618 Математичний диктант 1.У геометричній прогресії перший член дорівнює 32, другий дорівнює 8. Знайти знаменник цієї прогресії. 2. Знайти шостий член геометричної прогресії, знаючи, що її перший член дорівнює 3, а знаменник дорівнює 2. 3. Знайти перший член геометричної прогресії, якщо, її п’ятий член дорівнює 125, а знаменник дорівнює 5. 4. 3; 6… - геометрична прогресія. Знайти суму шести її членів. Перевір себе ! 1. 1/4 2. 96 3. 1/5 4. 189 Знайти знаменник геометричної прогресії: Пункт 11.3. Нескінченна геометрична прогресія (|q| < 0) та її сума Розглянемо геометричні прогресії: Усі вони — нескінченні, і знаменник q кожної з них такий, що |q| < 1. Їхньою особливістю є те, що зі збільшенням номера члена прогресії його значення дедалі менше відрізняється від нуля (кажуть: “значення членів прогресії bn прямують до нуля при необмеженому зростанні n”, а записують так: Нескінченна геометрична прогресія (|q| < 0) та її сума Розглянемо, що відбувається із сумою n перших членів таких прогресій при необмеженому зростанні n. За відомою формулою Нескінченна геометрична прогресія (|q| < 0) та її сума Вираз вважають сумою нескінченної геометричної прогресії з першим членом b1 і знаменником q, де |q| < 1. Позначивши цю суму буквою S, можна записати: Нескінченна геометрична прогресія (|q| < 0) та її сума Приклад 1. Обчислити суму – Розв'язання. Маємо суму членів нескінченної геометричної прогресії, в якої Скориставшись формулою , маємо: Отже, Нескінченна геометрична прогресія (|q| < 0) та її сума Приклад 2. Періодичний дріб 0,151515… записати у вигляді суми членів нескінченної геометричної прогресії і знайти цю суму. Розв'язання. Маємо: 0,(15) = У прогресії Отже, Нескінченна геометрична прогресія (|q| < 0) та її сума Приклад 3. Періодичний дріб 0,2777... перетворити у звичайний. Розв'язання. 0,2777 = Розглянуті приклади 2 і 3 показують, як періодичні десяткові дроби можна записати у вигляді звичайних. Узагальнююче повторення вивченого матеріалу Геометрична прогресія називається нескінченно спадною, якщо модуль знаменника менший за одиницю.  Довести, що геометрична прогресія є нескінченно спадною. Доведення. Геометрична прогресія є нескінченно спадною. Сума нескінченно спадноїгеометричної прогресії Записати нескінченний періодичний десятковий дріб 0,(15) = 0,151515… у вигляді звичайного дробу. 0,(15) = 0,151515… Складемо послідовність наближених значень :

https://svitppt.com.ua/algebra/grafichna-funkciya.html

Графічна функція

https://svitppt.com.ua/uploads/files/34/7d7c3aefe40787c921ec0e4c6141be86.pptx

files/7d7c3aefe40787c921ec0e4c6141be86.pptx

Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратичні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 3 Функція. Квадратична функція Поняття квадратичної функції. Графік функції y=x2+n. Графік функції y=(x+m)2 Графік функції y=(x+m)2+n. Графік функції y=ax2 Графік функції y=a(x+m)2+n Графік функції y=ax2+bx+c Властивості квадратичної функції Найпростіші перетворення графіків функцій Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв'язування вправ Узагальнююче повторення Побудуємо графіки функцій і дослідимо їх властивості 1) 9 4 1 0 1 4 9 Побудуємо графіки функцій і дослідимо їх властивості 1) 9 4 1 0 1 4 9 1. D(y): R 2. у=0, якщо х=0 3. у>0, якщо х Побудуємо графіки функцій і дослідимо їх властивості 1) 9 4 1 0 1 4 9 1. D(y): R 2. у=0, якщо х=0 3. у>0, якщо х 4. у↓, якщо х у↑, якщо х Побудуємо графіки функцій і дослідимо їх властивості 1) 9 4 1 0 1 4 9 1. D(y): R 2. у=0, якщо х=0 3. у>0, якщо х 4. у↓, якщо х у↑, якщо х 5. унайм=0, якщо х=0 унайб – не існує. 6. Е(y): Побудуємо графіки функцій і дослідимо їх властивості 2) 18 8 2 0 2 8 18 Чи є відмінності у властивостях в порівнянні з попередньою функцією? Чим відрізняється графік? Побудуємо графіки функцій і дослідимо їх властивості 4) -4,5 -2 -0,5 0 -0,5 -2 -4,5 Чи є відмінності у властивостях в порівнянні з попередньою функцією? Побудуємо графіки функцій і дослідимо їх властивості 4) -4,5 -2 -0,5 0 -0,5 -2 -4,5 1. D(y): R 2. у=0, якщо х=0 3. у<0, якщо х 4. у↑, якщо х у↓, якщо х 5. унайб=0, якщо х=0 унайм – не існує. 6. Е(y): У У У Встановіть відповідність: Пункт 3.7. Пригадайте: 1. Які координати має вершина параболи, що є графіком функції у = с(х+b/2)2-5mn? 2. Яка пряма є віссю симетрії параболи: а) х =-b/2; б) х = 5тn; в) х = -5mn; г) х = -b/2 ? 3. Як записати у вигляді квадрата двочлена тричлен: а) х2 + 10х + 25; б) х2 + 5х + 6,25? Графік функції y=ax2+bx+c Пункт 3.7. З'ясуємо, що являє собою графік квадратичної функції, заданої формулою у = ах2+bх+с. Перетворимо праву частину даної формули, виділивши квадрат двочлена. Маємо: Як побудувати графік функції y=ax2+bx+c Пункт 3.7. Отже, формула у = ах2+bх+с та Задають одну і ту саму функцію. Порівнюючи останню формулу з формулою бачимо, що це формули одного і того самого виду, де Оскільки графік функції Є параболою виду з координатами вершини (-m; n) і віссю симетрії x=-m, то і графік функції у = ах2+bх+с є параболою виду З координатами вершини І віссю симетрії Як побудувати графік функції y=ax2+bx+c Пункт 3.7. Загальний спосіб побудови графіка квадратичної функції у = ах2+bх+с : Будуємо вершину параболи, що є графіком цієї функції, обчисливши її координати за формулами: Проводимо через побудовану вершину параболи вісь симетрії параболи — пряму, паралельну осі 0у. Будуємо кілька точок, що належать графіку даної функції. Для обчислення їх координат треба взяти кілька значень змінної х, розміщених на осі 0х справа або зліва від осі симетрії параболи, і знайти відповідні значення змінної у. Потім за знайденими координатами будуємо точки графіка функції, а також точки, симетричні їм відносно осі симетрії параболи. Через побудовані точки проводимо параболу. Як побудувати графік функції y=ax2+bx+c Пункт 3.7. Приклади побудувати графіків квадратичних функцій Побудова. Знаходимо координати вершини параболи: 2. Будуємо вершину параболи і через неї проводимо вісь симетрії параболи Надамо змінній х кількох значень і знайдемо відповідні значення у. Маємо: х = 0,5; у = 2•(0,5)2-4•0,5-1=0,5-2-1=-2,5; х= 0; у = 2•02 —4•0-1 =-1; х = -0,5; у =2•(—0,5)2-4•(-0,5)-1=1,5; х = -1; у=2•(-1)2-4•(-1)-1=2+4—1=5. Приклад 1. Побудувати графік функції у = 2х2 -4х-1. Пункт 3.7. Приклади побудувати графіків квадратичних функцій Приклад 1. Побудувати графік функції у = 2х2 -4х-1. Будуємо точки за встановленими координатами (0,5; -2,5), (0; -1), (-0,5; 1,5), (1; 5), а також точки симетричні їм відносно осі параболи. Через побудовані точки проводимо параболу. Приклади побудувати графіків квадратичних функцій Побудова. Знаходимо координати вершини параболи: 2. Вісь параболи ч=-1. 3. Координати кількох точок: х=0, у=-0,5 (0; -0,5) х=1, у=-2 (1; -2) х=2, у=-4,5 (2; -4,5) 4.Будуємо ці точки, а також точки, симетричні їм відносно осі параболи, і через побудовані точки проводимо графік функції. Приклад 2. Побудувати графік функції у =-0,5х2 – х – 0,5. Пункт 3.7. Приклади побудувати графіків квадратичних функцій Приклад 3. Побудувати графік функції у =х2 + 4х + 5. 1) Координати вершини параболи: 2) Вісь параболи: х = - 2 3) Додаткові точки: (-1,5; 1,25) (-1; 2) (0; 5) 4) Будуємо параболу: Приклади побудувати графіків квадратичних функцій Приклад. Арка моста мае форму параболи. Складіть рівняння цієї параболи, якщо висота арки дорівнює 8 м, а відстань між опорами — 24 м.  Пункт 3.7. Запитання для самоперевірки 1). Опишіть послідовність побудови графіка квадратичної функції. 2). Як обчислюють координати вершини параболи, що є графіком функції у = ах2 + bх + с? 3). Опишіть послідовність побудови графіка функції, зображеної на малюнку.

https://svitppt.com.ua/algebra/peretvorennya-grafikiv-funkciy1.html

Перетворення графіків функцій

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/4c9a1a9432dadcd4ac6430f35331ca20.pptx

files/4c9a1a9432dadcd4ac6430f35331ca20.pptx

Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратичні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 3 Функція. Квадратична функція Поняття квадратичної функції. Графік функції y=x2+n. Графік функції y=(x+m)2 Графік функції y=(x+m)2+n. Графік функції y=ax2 Графік функції y=a(x+m)2+n Графік функції y=ax2+bx+c Властивості квадратичної функції Найпростіші перетворення графіків функцій Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв'язування вправ Пункт 4.2. Пригадайте Яке перетворення графіка функції у=х2 слід здійснити, щоб отримати графік функції : а) у=х2+4; б) у=х2-3. Яке перетворення графіка функції у=х2 слід здійснити, щоб отримати графік функції: а) у=(х-6)2; б) у=(х+3)2 Яке перетворення графіка функції у=х2 слід здійснити, щоб отримати графік функції: а) у=2х2; б) у=1/3·х2? Перетворення графіків функцій Пункт 4.2. Перетворення y=f(x)y=f(x)+n Ми дослідили, що додавання до значень функції у=х2 певного числа n приводить до утворення нової функції у=х2 +n. Графік функції у=х2 +n, отримують внаслідок паралельного перенесення графіка початкової функції (у=х2) вздовж осі ординат на |n| одиниць вгору або вниз, залежно від знака n. Перетворення графіків функцій Графік функції y=f(x)+n отримують унаслідок паралельного перенесення графіка функції y=f(x) вздовж осі 0у на |n|одиниць вгору, якщо n>0, і вниз, якщо n<0. Пункт 4.2. Графіком, наприклад, функції є крива, яку отримують унаслідок паралельного перенесення графіка функції вздовж осі ординат на 3 одиниці вниз. Перетворення графіків функцій Пункт 4.2. Перетворення y=f(x)y=f(x+m) Відомо, що додавання до значень аргументу функції у = х2 певного числа m приводить до утворення нової функції у = (х + m)2, графік якої отримують унаслідок паралельного перенесення графіка першої функції вздовж осі абсцис на |m|одиниць вліво чи вправо, залежно від знака m. Перетворення графіків функцій Графік функції y=f(x+m) отримують унаслідок паралельного перенесення графіка функції y=f(x) вздовж осі 0x на |m|одиниць вліво, якщо m>0, і вправо, якщо m<0. Пункт 4.2. Перетворення y=f(x)y=f(x+m) Приклад. Графік функції можна отримати внаслідок паралельного перенесення графіка функції вздовж осі абсцис на 3 одиниці вправо . Перетворення графіків функцій Пункт 4.2. Перетворення у = f(x)  у = kf(x). Ми з'ясовали вплив значення коефіцієнта а на форму графіка функції у = ах2. Аналогічно коефіцієнт k впливає на форму графіка функції у = kf(x). Перетворення графіків функцій Графік функції у = kf(x) отримують унаслідок розтягнення графіка функції у = f(x) вздовж осі ординат у k разів, якщо k>1, або внаслідок відповідного його стиснення, якщо 0 < k < 1. Пункт 4.2. Перетворення у = f(x)  у = kf(x). Перетворення графіків функцій Пункт 4.2. Перетворення у = f(x)  у = — f(x). В ході вивчення теми, було встановлено, що графіки функцій у = 2x2 і у=—2x2 симетричні відносно осі абсцис, бо при одних і тих самих значеннях x значення відповідних функцій відрізняються лише знаком. Точки, абсциси яких рівні між собою, а ординати — протилежні числа, симетричні відносно осі абсцис. Перетворення графіків функцій Графік функції у = - f(x) отримують унаслідок симетрії графіка функції у = f(x) відносно осі абсцис. Пункт 4.2. Перетворення у = f(x)  у = — f(x). Графік функції у = - х2 + 4 можна отримати із графіка функції у = х2 - 4 симетрією відносно осі 0х. Перетворення графіків функцій Пункт 4.2. Перетворення у = f(x)  у = |f(x)|. За означенням модуля числа, для всіх невід'ємних значень f(x) виконується рівність |f(x)|=f(x). Отже, в цьому випадку графіки функцій у = f(x) і у = |f(x)| збігаються. Якщо f(x) < 0, то |f(x)|=- f(x), тобто за цієї умови графік функції у = |f(x)| збігається з графіком функції у = - f(x). З цього випливає, що всі точки графіка функції у = |f(x)| розміщені над віссю Ох або на цій осі. Перетворення графіків функцій Щоб отримати графік функції у = |f(x)|, треба ту частину графіка функції у = f(x) , яка лежить над віссю абсцис або на ній, залишити без змін і доповнити її другою частиною, яку отримують унаслідок симетрії відносно осі абсцис тієї частини графіка функції у = f(x) , яка лежить під цією віссю. Побудова. Будуємо графік функції у = х2 – 4. Частину цього графіка, що розміщена над віссю Ох, залишаємо без змін. Під віссю Ох розміщена частина графіка цієї функщї, обмежена точками —2 і 2. Будуємо симетричну їй частину відносно цієї осі. Графіком функції у = |x2-4| є крива, зображена на рисунку внизу. Перетворення графіків функцій Приклад. Побудувати графік функції у = |x2-4|. Пункт 4.2. Запитання для самоперевірки 1. Що потрібно зробити з графіком функції у = 2(х + 5), щоб отримати графік функції у= 2х? 2. Яке перетворення графіка функції f(x) = 4х - 1 слід здійснити, щоб отримати графік функції f(x) = 4х + 2? 3). Графіки яких функцій симетричні відносно осі абсцис: а) у = (х- З)2-2; б) у = (3-х)2 + 2; в) у = - (х - З)2 + 2; г) у = (х + З)2 + 2? 4). Як побудувати графік функції y=|2x-1|? Перетворення графіків функцій Графіки функцій, зображених на рисунках, побудовано за допомогою шаблона у=х2. Задайте кожну з цих функцій формулою.

https://svitppt.com.ua/algebra/relyaciyna-algebra.html

Реляційна алгебра

https://svitppt.com.ua/uploads/files/37/8cfb87127de775f535c9ed0b380d7bd6.pptx

files/8cfb87127de775f535c9ed0b380d7bd6.pptx

Реляційна алгебра Реляційна алгебра. Операції реляційної алгебри. Особливості теоретико-множинних операцій реляційної алгебри. Елементами основної множини є реляційні відношення. Реляційні відношення називаються сумісними, якщо: У них однакова кількість атрибутів, тобто k=n; Можна встановити взаємно однозначну відповідність між доменами атрибутів першої та другої реляцій. Тобто існує таке бієктивне відображення , що , тобто домени атрибутів однакові Властивості бінарних операцій: Операція φ є комутативною, якщо А φ В = В φ А; Операція φ є асоціативною, якщо (А φ В) φ С = А φ (В φ С); Операція φ є дистрибутивною з операцією θ, якщо А φ (В φ С) = (А φ В) θ (А φ С) Операція oб’єднання Нехай L — певна множина атрибутів. Об'єднанням сумісних реляційних відношень R1 і R2 зі схемами R1(L) і R2(L) (позначається як R1 U R2) називається таке реляційне відношення R зі схемою R(L), що містить кортежі обох поєднуваних відношень, але без повторень R(L) = R1 (L) R2 (L) = {r | r R1 r R2}. Операція комутативна, асоціативна й дистрибутивна щодо перетину. Операція oб’єднання R (L) = R1 (L) U R2 (L) = { r | r є R1 v r є R2 } R1 R2 R1 U R2 Операція перетину Перетином сумісних реляційних відношень R1 і R2 зі схемами R1(L) і R2(L) (позначається як R1 ∩ R2) називається таке реляційне відношення R зі схемою R(L), яке містить кортежі, шо входять до складу обох операндів: R(L) = R1 (L) R2 (L) = {r | r R1 & r R2}. Операція комутативна, асоціативна й дистрибутивна щодо об'єднання Операції реляційної алгебри Операція перетину R (L) = R1 (L) ∩ R2 (L) = { r | r є R1 & r є R2 } R1 R2 R1 ∩ R2 Операція різниці Різницею сумісних реляційних відношень R1 і R2 зі схемами R1(L) і R2(L) (позначається як R1 - R2) називається реляційне відношення R зі схемою R(L), що містить ті кортежі з першого операнда R1, яких немає у другому операнді R2: R(L) = R1 (L) - R2 (L) = {r | r R1 & r R2}. Операція не комутативна, не асоціативна й не дистрибутивна з іншими операціями. Операція різниці R (L) = R1 (L) – R2 (L) = { r | r є R1 & r є R2 } R1 R2 R1 – R2 Операція проекції Проекцією реляційного відношення R зі схемою R(Аi,...,Аk) за атрибутами Аi1,…,Аіn, де {Аi1,..., Аіп) {А1,..., Ак}, що позначається R[Аi1,..., Аіп], називається таке відношення, кортежі якого отримані з кортежів відношення R(Аi,...,Аk) шляхом видалення значень, що не належать атрибутам, за якими виконується проекція. В кінцевому відношенні повторні екземпляри кортежів видаляються. Якщо r - кортеж відношення R, то запис r[L] - множина тих елементів кортежу r, що відповідають значенням атрибутів з L, де L — підмножина атрибутів відношення R. Операція проекції S = R [Ain ,….., Ain] = {r [Ain ,….., Ain] | r є R} R R [A,C] АБО ¶Ai1,…,Ain(R). Операція обмеження (селекція) Нехай θ є одним з операторів порівняння: =, , <, , >, (набір операторів можна розширити). Атрибути А і В одного й того самого чи різних відношень називаються θ-порівнянними, якщо для будь-яких значень а є А і b є В результат операції аθb є визначеним (істинним або хибним). Набори атрибутів L= (А1,..., Аk) та М=(В1,...,Вn) називаються θ -порівнянними, якщо k=n i Ai є θ-порівнянним з Вi (і=1,2,...,k). Тоді вираз L θ М розуміють так: L θ М = (A1 θ В1) &...& (Аk θ Вk). Операція обмеження (селекція) L θ M = ( A1 θ B1) &……& ( Ak θ Bk) R R [A = a2] Декартів добуток Декартовим добутком реляційних відношень R і S зі схемами R(А1,А2,..., Ап) та S(В1, В2,..., Вт) відповідно, що позначається R ХS, називається відношення Q зі схемою Q(А1, А2,..., Ап, В1, В2,..., Вт), яке містить усі можливі з'єднання кортежів відношення R з кортежами відношення S: Q= R Х S ={(r,s)| r єR & s єS}. Операція комутативна й асоціативна. Декартів добуток Операція з'єднання Нехай відношення R має схему R(L,М), а відношення S — схему S(N,Р). Нехай множини атрибутів М і N θ-порівнянні. З'єднанням (θ-з'єднанням), відношень R іS за умовою М θN (R[М θN]S), називається відношення Q(L, М, N. Р), кортежі якого можна отримати з'єднанням тих кортежів відношень R іS, на яких виконується умова М θN: Q=R[МθN]S={(r,s)|rєR & sєS&r[М] θs[N]} Під час з'єднання атрибути, за якими виконується така операція, повторюються в кінцевому реляційному відношенні. Операція комутативна й асоціативна. З'єднання за умовою З'єднання за умовою рівності називається еквіз'єднанням. З'єднання за умовою рівності, коли один з порівнюваних атрибутів (чи група порівнюваних атрибутів) видаляється з кінцевого відношення, називається природним з'єднанням ( * ). Наприклад, якщо задані відношення R(А, В, С, D) і S(С, D. Е), то в результаті виконання операції Q=R*S-отримаємо реляційне відношення Q(А, В, С, D, Е). Серед операцій θ-з'єднання виділяють операцію напівз'єднання, за якої з результату видаляються всі атрибути одного з відношень, що з'єднуються. Операція з'єднання Операція з'єднання УВАГА! КАВЕРЗА!

https://svitppt.com.ua/algebra/scho-mi-znaemo-pro-grafiki.html

Що ми знаємо про графіки?

https://svitppt.com.ua/uploads/files/47/e0c2a4a63376dd85b62d448bf8a23817.ppt

files/e0c2a4a63376dd85b62d448bf8a23817.ppt

                  7/8                                     7/8                   0 3 2 0 4 -1 6 -3 8 -1 10 0 12 2 0 14 16 18 20 22 24 5 7 5 4 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7                   7/8                                     7/8                                     7/8                                     7/8                                     7/8                                     7/8                                     7/8                                     7/8                  

https://svitppt.com.ua/algebra/sklad-chisla-4.html

Склад числа 2

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/a9b2a060c02578db594a88aa93026258.ppt

files/a9b2a060c02578db594a88aa93026258.ppt

1 1 1 + 1 = 2 2 -1 = 1 2 1 http://i.allday.ru/uploads/posts/2009-08/thumbs/1250058141_12.jpg http://www.ccboe.net/Teachers/Durham_Sharon/images/918F9422010B4BB0B160956D6B9D4E34.JPG http://www.utkonos.ru/images/it/027/008/006/1238197P.jpg http://www.caringbahlearningcentre.com.au/assets/images/calc.JPG

https://svitppt.com.ua/algebra/stepin-z-naturalnim-pokaznikom1.html

Степінь з натуральним показником

https://svitppt.com.ua/uploads/files/35/b1e3006ce91c0b64a1118e415ac394b8.ppt

files/b1e3006ce91c0b64a1118e415ac394b8.ppt

(-0,4)2 -62 · (-10) -3 · 22 (6 : 2)3 63 : 2 2 -53 (-5)3 1 (6 + 2)2 72 + 33 5 · (-3)3 · (-3)2 ·(-4)2 -5 · (-2)3 2 · (-3)2 4 05 -0,42 (-1)201 -102 (-1)100 3 0,753 · 107 2,205 · 105 9,099 · 101 x5 + 1 = 0

https://svitppt.com.ua/algebra/sistemi-liniynih-rivnyan-z-dvoma-zminnimi.html

Системи лінійних рівнянь з двома змінними

https://svitppt.com.ua/uploads/files/5/c064ae9ad1ca39d5fe8f20918ea993ac.ppt

files/c064ae9ad1ca39d5fe8f20918ea993ac.ppt

5 5 x x x y y y -2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -3 x + y = 5 x = -2 y = -3 0 1 -1 0 0 4 -2 0 P

https://svitppt.com.ua/algebra/rozvyazuvannya-zadach-za-dopomogoyu-liniynih-rivnyan-rivnyannya-yak-ma.html

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ЗА ДОПОМОГОЮ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ. РІВНЯННЯ ЯК МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЗАДАЧІ

https://svitppt.com.ua/uploads/files/45/33b826a3ebed777f444e4b9acd27c869.ppt

files/33b826a3ebed777f444e4b9acd27c869.ppt

+17 2 5 2 3

https://svitppt.com.ua/algebra/sklad-chisla-5.html

Склад числа 4

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/c132fb984286824898afdd2abc7b5151.ppt

files/c132fb984286824898afdd2abc7b5151.ppt

2 2 1 3 3 1 3 + 1 = 4 2 + 2 = 4 4 4 4 3 2 1 http://i.allday.ru/uploads/posts/2009-08/thumbs/1250058141_12.jpg http://www.ccboe.net/Teachers/Durham_Sharon/images/918F9422010B4BB0B160956D6B9D4E34.JPG http://www.utkonos.ru/images/it/027/008/006/1238197P.jpg http://www.caringbahlearningcentre.com.au/assets/images/calc.JPG 3 + 1 = 4 2 + 2 = 4

https://svitppt.com.ua/algebra/stepin-naturalnogo-chisla-z-naturalnim-pokaznikom.html

Степінь натурального числа з натуральним показником

https://svitppt.com.ua/uploads/files/48/70c84eb393bf986ad5429f3f74e1fa16.ppt

files/70c84eb393bf986ad5429f3f74e1fa16.ppt

6·6= 6·6·6 = 6·6·6·6 = 6·6·6·6·6 = 6·6·6·6·6·6 = 6 , , , , 3+3+3+3=3·4 4+4+4= 5+5+5+5+5+5= 9+9= 9·9= 5·5·5·5= 7·7·7·7·7·7·7·7= 8·8·8·8·8= a) . 4 3 1 2

https://svitppt.com.ua/algebra/sklad-chisla-3.html

Склад числа 8

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/91129f9f6c71a98d26531384980f724b.ppt

files/91129f9f6c71a98d26531384980f724b.ppt

1 6 2 7 3 5 4 4 4 + 4 = 8 3 + 5 = 8 6 + 2 = 8 8 8 8 8 7 6 5 4 8 8 8 3 2 1 http://i.allday.ru/uploads/posts/2009-08/thumbs/1250058141_12.jpg http://www.ccboe.net/Teachers/Durham_Sharon/images/918F9422010B4BB0B160956D6B9D4E34.JPG http://www.utkonos.ru/images/it/027/008/006/1238197P.jpg http://www.caringbahlearningcentre.com.au/assets/images/calc.JPG 6 + 2 = 8

https://svitppt.com.ua/algebra/stepeneva-funkciya-z-racionalnim-pokaznikom.html

Степенева функція з раціональним показником

https://svitppt.com.ua/uploads/files/5/689251a6c8d4b24587d8b4effece85be.ppt

files/689251a6c8d4b24587d8b4effece85be.ppt

(0; + ) (0;+ ) [0; + ) [0; + ) E (y) D (y)

https://svitppt.com.ua/algebra/stepin-z-naturalnim-pokaznikom-ta-vlastivosti-stepenya-z-naturalnim-po.html

СТЕПІНЬ З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ ТА ВЛАСТИВОСТІ СТЕПЕНЯ З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ

https://svitppt.com.ua/uploads/files/45/12525b96da48dd408742c112facb9722.ppt

files/12525b96da48dd408742c112facb9722.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/sistema-liniynih-rivnyan-z-dvoma-zminnimi.html

Система лінійних рівнянь з двома змінними

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/c76341f0f991afd1885ef0a1bab57f25.ppt

files/c76341f0f991afd1885ef0a1bab57f25.ppt

5 5 x x x y y y -2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -3 x + y = 5 x = -2 y = -3 0 1 -1 0 0 4 -2 0 P

https://svitppt.com.ua/algebra/stepin-z-racionalnim-pokaznikom-ta-yogo-vlastivosti1.html

Степінь з раціональним показником та його властивості

https://svitppt.com.ua/uploads/files/35/f1aaf7af319d98f6e8201b74a49303e8.ppt

files/f1aaf7af319d98f6e8201b74a49303e8.ppt

1) 2) 3) 4) 5) 6) > 0

https://svitppt.com.ua/algebra/spivvidnoshennya-mizh-trigonometrichnimi-funkciyami-odnogo-argumentu.html

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

https://svitppt.com.ua/uploads/files/56/77cf52eee0895b1faae1b77a3e1bd094.ppt

files/77cf52eee0895b1faae1b77a3e1bd094.ppt

? ?

https://svitppt.com.ua/algebra/tematichna-kontrolna-robota-1.html

Тематична контрольна робота №2

https://svitppt.com.ua/uploads/files/44/86968013e9a66b484c7a30d06375b99a.ppt

files/86968013e9a66b484c7a30d06375b99a.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/totozhni-peretvorennya-racionalnih-viraziv1.html

Тотожні перетворення раціональних виразів

https://svitppt.com.ua/uploads/files/35/2b915035bbed81f34b74bf4192f0ed52.ppt

files/2b915035bbed81f34b74bf4192f0ed52.ppt

12/18 24/36 16/24 14/21 2/3 ?

https://svitppt.com.ua/algebra/sposib-grupuvannya-chisel.html

Спосіб групування чисел

https://svitppt.com.ua/uploads/files/28/bb8a17ee5534735750404b936ccbf250.ppt

files/bb8a17ee5534735750404b936ccbf250.ppt

a(x-2)+(x-2)= c+d-4(d+c)= 3(b-5)-a(5-b)= m-n+(m-n)y= (x­2)(a+1) 3(b-5)+a(b-5) =(b-5)(3+a) (m-n)(1+y) 6xy+ab-2bx-3ay=(6xy-2bx)+(ab-3ay) =2x(3y-b)+a(b-3y) =(3y-b)(2x-a) 6xy+ab-2bx-3ay=(3y-b)(2x-a) 6xy+ab-2bx-3ay=(6xy-3ay)+(ab-2bx) = =3y(2x-a)+b(a-2x) = =3y(2x-a)-b(2x-a) = =(2x-a)(3y-b) =2x(3y-b)-a(3y-b) x2-3xy+xz+2x-6y+2z=(x2-3xy+xz)+(2x-6y+2z) = =x(x-3y+z)+2(x-3y+z) =(x-3y+z)(x+2) x2-3xy+xz+2x-6y+2z=(x2+2x)-(3xy+6y)+(xz+2z) = =x(x+2)-3y(x+2)+z(x+2) = =(x+2)(x-3y+z) 1) 3a²-6a³= 1) 12a²-6a³= 1) 15x³-5x²= 2) y³-6y²+y-6= 2)3a+3- n a - n= 2) 6mx-2m+9x-3= 3) (x-y)²-3x(x-y)= 3) a(4a-7)+2(4a-7)= 3) 7(x-4y)²-5x²+20xy= 4) 6a-12c-ap+2cp= 4) 5(a-b)-2(a-b)²= 4) 2x(3b-2c)-3b+2c= 5) c²(c-9)-c(c-9)= 5) 5x(x-3)-x²(x-3)= 5) a(b-1)-4b+4= 6) (a -2b)-3a(a-2b)= 6) 8y-32y²= 6) m²n³ - 3mn²= 7) x³-14x²-2x+28= 7) x(x-y)+2(x-y)= 7) 7a²+7-a³-a= 8) 2x(x-4)-7(4-x)= 8) 3a-15+ax-5x= 8) 2+2b²- b-b³= 9) m³n³ -6m(n²)²= 9) 7c²- c³-c+7= 9) 2x²yz-15yz-3xz²+10xy²= 3a²(1-2a) c(c-9)(c-1) (a-2c)(6-p) (2x+7)(x-4) (2-3a)(a-2b) (x-y)(-y-2x) (y²+1)(y-6) (x²-2)(x-14) mn³(m²-6n) (x-y)(x+2) (a+2)(4a-7) (b²+1)(b-5) (a-b)(5-2a+2b) x(x-3)(5-x) (7-c)(c²+1) 8y(1-4y) (3-n)(a+1) 6a²(2 - a) 5x²(3x-1) (x-4y)(7-5x) (2xy-3z)(5y+xz) (b-1)(a-4) (3x-1)(2m+3) (2-b)(1+b²) (3b-2c)(2x-1) mn²(m-3n) (7-a)(a²+1)

https://svitppt.com.ua/algebra/rivnyannya-kola1.html

Рівняння кола

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/da43df892eeeb9be9b08a77b5dd59152.pptx

files/da43df892eeeb9be9b08a77b5dd59152.pptx

Рівняння кола Урок геометрії 9 клас за підручником А.П. Єршова «Геометрія 9» ??????????????? Що таке «прямокутна система координат на площині»? Як називається горизонтальна вісь координатної площини ? Як називається вертикальна вісь координатної площини ? Як називається точка з координатами (0;0) ? ??????????????? Як називаються частини координатної площини , на які вона ділиться осями? Які знаки мають абсциси у другій чверті ? Які знаки мають ординати у третій чверті ? ??????????????? Як знайти координати середини відрізка за заданими координатами кінців? Як знайти довжину відрізка за координатами кінців ? Назвати зображені фігури 1 5 4 3 2 Проблема y 0 x Рівняння кола y R Рівняння кола Відповіді Варіант 1 Варіант 2 Домашнє завдання підручник А.П. Єршова «Геометрія 9» §9.1-9.2 опрацювати. Розв’язати № 316, №324.

https://svitppt.com.ua/algebra/rivnyannya3.html

Рівняння

https://svitppt.com.ua/uploads/files/65/3e8d5f1456e94015fcfd129315477251.pptx

files/3e8d5f1456e94015fcfd129315477251.pptx

Рівняння 8x+5 5x+17 = Правила «терезів» Обидві частини рівняння можна поміняти місцями. 2x+3 =(3x+5)5 5 2x+3 = 3x+5 5 5 Правила «терезів» Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне і те ж саме число +x 3x+3 = –x–7 +x +x 3x+3 = –x –7 +x 3x +x = –7 3 + – Правило перенесення доданків Доданок можна переносити із однієї частини рівняння в іншу, змінюючи при цьому його знак 3x+3 = –x –7 –2x + 7 = 8x +2 – – –10x= –5 x= 0,5 3x + 6 = 3 ( x –4 ) –12 – 3x – 0 x = –18 Немає коренів!!!

https://svitppt.com.ua/algebra/rivnyannya-z-parametrami1.html

рівняння з параметрами

https://svitppt.com.ua/uploads/files/64/3bcc8eb9df990f7ed8f98add23714e0e.pptx

files/3bcc8eb9df990f7ed8f98add23714e0e.pptx

ЕЛАСТИЧНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРІЇ ЕЛАСТИЧНОСТІ АКТУАЛЬНІСТЬ ДОСЛІДЖЕННЯ . Вміння математично пояснити економічні процеси дає можливість розширення економічних знань, формування економічного мислення, підготовки і адаптації в умовах розвитку ринкової економіки. МЕТА ДОСЛІДЖЕННЯ: дослідити застосування теорії еластичності в економічному аналізі; застосувати еластичність функції до розв'язування математичних задач економічного змісту ЗАВДАННЯ охарактеризувати економічний зміст похідної, еластичність функції; дослідити застосування теорії еластичності при обчисленні еластичності попиту і пропозиції; встановити зв’язок між еластичністю і доходами підприємства; охарактеризувати вплив еластичності на розподіл податкового тягаря; застосувати еластичність функції до розв'язування. математичних задач економічного змісту. ЗАВДАННЯ 1 Економічний зміст похідної, еластичність функції Властивості еластичності функції Еластичності елементарних функцій ЗАВДАННЯ 2 ЗАВДАННЯ 3 ЗАВДАННЯ 4 ЗАВДАННЯ 5 Застосування еластичності функції до розв'язування математичних задач економічного змісту: 1. Визначення еластичності попиту і пропозиції; 2. обчислення еластичності попиту при ціні рівноваги; 3. визначення перехресної еластичності, застосування частинних похідних; 4. визначення еластичності попиту за доходом. ВИСНОВКИ Економічний зміст похідної полягає в наступному: похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного процесу з плином часу або щодо іншого досліджуваного фактора; Знання похідної дозволяє вирішувати численні завдання з економічної науки. А еластичність, як один з прикладів економічного змісту похідної має широке застосування на практиці; Математичне поняття еластичності дає змогу краще зрозуміти взаємозв'язки між економічними категоріями і процесами; Теорії еластичності застосовується при аналізі попиту, пропозиції, розподілі податкового тягаря, зв'язків між доходами виробництва і еластичністю попиту. ДЯКУЮ ЗА УВАГУ

https://svitppt.com.ua/algebra/sferarivnyannya-sferi.html

Сфера.Рівняння сфери

https://svitppt.com.ua/uploads/files/64/fa7d2a9c763a9520a2271a8f80bf98d5.pptx

files/fa7d2a9c763a9520a2271a8f80bf98d5.pptx

Сфера.Рівняння сфери Сферою називається геометричне місце точок простору, рівновіддалених від даної точки, що називається центром сфери. будь-який відрізок, який з’єднує центр і будь-яку точку сфери, називають радіусом сфери. відрізок, який з’єднує дві точки сфери і проходить через її центр , називають діаметром сфери. ОА – радіус сфери АВ – діаметр сфери Сферу можна отримати в результаті обертання півкола навколо його діаметра. Сфера отримана поворотом півкола АСВ навколо діаметра АВ. Рівняння сфери (x- x0 )2+(y- y0 )2+(z- z0 )2= R2 Площа сфери

https://svitppt.com.ua/algebra/teoriya-ymovirnostey0.html

Теорія ймовірностей

https://svitppt.com.ua/uploads/files/19/70c3ad689d57117ac50f1fd31e219fa6.ppt

files/70c3ad689d57117ac50f1fd31e219fa6.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/teoriya-ymovirnosti-laboratorna-robota-0.html

Теорія ймовірності_Лабораторна робота №1

https://svitppt.com.ua/uploads/files/26/f09174aae31b2b99d2a8df157d2bdf19.ppt

files/f09174aae31b2b99d2a8df157d2bdf19.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/rozvyazuvannya-kvadratnih-rivnyan1.html

розвязування квадратних рівнянь

https://svitppt.com.ua/uploads/files/66/2a6ebbc54b8867c995663438c8879d8d.pptx

files/2a6ebbc54b8867c995663438c8879d8d.pptx

Числові множини. Ірраціональні та дійсні числа 1.Натуральні числа Які числа називають натуральними? N ={1, 2, 3, 4, …} 2) 1000 є N; 1) 3) 17 є N 4) – 28 є N 5) 0 є N 6) 0,7 є N 2. Цілі числа Z = {4, 7, 0, -8, -3, -4 , 11, 9,…} 1) 1,5 є Z 2) -5 є Z 3) 13 є Z 4) 29,6 є Z 5) 0 є Z 6) -289 єZ 3. Раціональні числа Q = {25; 3/10; 1,9; 9/15; 19; 36} 4. Ірраціональні числа I={√2; √3;√5; √7; √11; √13} ∏= 3,14… 5. Дійсні числа Q Q Z N R I N Z Z Q Q R I R Дякую за увагу! Домашнє завдання : вивчити параграф 15 Виконати №560, 562,565.

https://svitppt.com.ua/algebra/rivnosilni-rivnyannya.html

Рівносильні рівняння

https://svitppt.com.ua/uploads/files/5/9824a1a36d845858b3589de10f07783a.pptx

files/9824a1a36d845858b3589de10f07783a.pptx

Рівносильні рівняння 7 клас “ Математику вже тому вчити треба, що вона розум у порядку приводить ” (М.В. Ломоносов) Два рівняння називаються рівносильними, якщо кожний розв’язок одного є розв’язок другого і навпаки. Рівняння, які не мають коренів, теж вважають рівносильними. У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний. Інтерактивна вправа “Броунівський рух”  Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля. “Математичне лото” Навчальна самостійна робота.

https://svitppt.com.ua/algebra/poslidovnist.html

Послідовність

https://svitppt.com.ua/uploads/files/25/e5b1ab5c7de360e4344bff2ca79410a2.pptx

files/e5b1ab5c7de360e4344bff2ca79410a2.pptx

Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 6 Арифметична та геометрична прогресії Числові послідовності. Властивості числових послідовностей Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії Сума перших n членів арифметичної прогресії Геометрична прогресія. Формула n-го члена геометричної прогресії Сума перших n членів геометричної прогресії Нескінченна геометрична прогресія (|q| < 0) та її сума Розв’язування вправ Пункт 10.1. Поняття числової послідовності Як задають числові послідовності Приклади числових послідовностей, заданих формулою загального члена Числові послідовності. Властивості числових послідовностей Пункт 10.1. Пригадайте Що таке функція? Яку назву мають змінні у функціональній залежності? Що таке область визначення функції? Що означає “задати функцію” і як це можна зробити? Числові послідовності. Властивості числових послідовностей Приклад 1. Тіло, що вільно падає, за t секунд долає шлях, довжина S якого обчислюється за формулою: S=4,9t2 Приклад 2. Будь-яке непарне число визначається формулою: an=2n-1, де n - натуральне число. Поняття числової послідовності Розглядані формули задають функції. Аргумент t першої функції може набувати будь-якого невід'ємного дійсного значення. Аргумент n другої функції може набувати лише натурального значення. Областю визначення другої функції є множина N натуральних чисел. Такі функції називають числовими послідовностями. Поняття числової послідовності Числова функція, областю визначення якої є множина натуральних чисел, називається числовою послідовністю З означення випливає, що аргумент цієї функції набуває натуральних значень, починаючи з 1. Підставляючи ці значення у формулу, що задає функцію, отримаємо відповідні значення функції, які називають членами послідовності. Знайдемо кілька членів послідовності непарних чисел, заданої формулою а = 2n — 1: n = 1, а = 2  1 - 1 = 1, n = 2, а = 2  2 - 1 = 3, n = 5, a = 2  5 - 1 = 9. Членам числової послідовності надають номер, який дорівнює відповідному числовому значенню аргументу n. а = 1 — перший член послідовності непарних чисел, а = З — другий, а = 9 — п'ятий член цієї послідовності. Кожен член послідовності позначають буквою з індексом, що відповідає його порядковому номеру: а1 = 1, а2 = 3, а5 = 9 і т.д. Поняття числової послідовності З означення числової послідовності випливає, що кількість її членів, як і кількість натуральних чисел, вказати не можна, тобто вона нескінченна. У ряді випадків доводиться мати справу з числовими функціями, областю визначення яких є множина лише n перших натуральних чисел. Такі функції теж відносять до числових послідовностей, які називають скінченними, бо кількість їх членів дорівнює певному натуральному числу. До скінченних належать, наприклад, послідовність перших десяти непарних чисел, послідовність квадратів перших ста натуральних чисел тощо. Поняття числової послідовності Член аn зі змінним номером n називають загальним членом послідовності. Саму послідовність коротко позначають символом (аn). Числову послідовність, як і функцію, можна задати аналітичним, графічним або табличним способом. Аналітичним способом числову послідовність зазвичай задають за допомогою формули її загального члена. Якщо, наприклад, то, починаючи з 1, отримаємо відповідні члени цієї послідовності: і т.д. Як задають числові послідовності Оскільки аргументом послідовності є лише натуральні числа, то її графіком є окремі точки, а не суцільна лінія. Наприклад, графіком послідовності є множина точок, зображених на рис. Абсцисами цих точок є натуральні числа 1, 2, 3, ..., 9, а ординатами— відповідно Як задають числові послідовності Розглянемо ще один спосіб задання послідовності, в якої, наприклад, а1 = 3, а кожний член, починаючи з другого, визначається співвідношенням: аn+1 = 2аn +1. Користуючись цими даними, знайдемо: а2 = 2а1 + 1 = 2  3 + 1 = 7; а3 = 2а2 + 1 = 2  7 + 1 = 15; а4 = 2а3 + 1 = 2  15 + 1 = 31 і т.д. Такий спосіб задання послідовності називають рекурентним. Як задають числові послідовності Формулу, що визначає будь-який член послідовності, починаючи з деякого, через попередні члени, називають рекурентною. Одну й ту саму послідовність можна задати кількома способами. Наприклад, послідовні 7, 10, 18, 16, 19 можна задати формулою n – го члена Її можна задати і рекурентним співвідношенням а1 = 7, аn+1 = аn + 3, n≤ 5. Цю послідовність можна задати також і у вигляді графіка, що складається з окремих точок, або за допомогою точок на координатній прямій. Крім названих способів, послідовність можна задати за допомогою словесного опису, з якого зрозуміло, як утворюються члени послідовності. Наприклад, послідовність десяткових наближень числа з недостачею: 0,6; 0,66; 0,666; ... . Як задають числові послідовності Приклад 1. Формула задає числову послідовність: 3; 5; 7; … бо  Приклад 2. Формула задає числову послідовність: будь-який член послідовності bn менший від числа 2. Приклад 3. Формула задає числову послідовність: Будь-який член послідовності сn більший від числа 2. Приклад 4. Формула задає числову послідовність: 5; 3; 1; -1; … Приклади числових послідовностей, заданих формулою загального члена Послідовності, як і функції, бувають зростаючими і спадними. Послідовності (аn) і (bn) зростаючі, а (cn) і (pn) — спадні. Зростаючі і спадні послідовності називають монотонними. Приклади числових послідовностей, заданих формулою загального члена Первинне закріплення вивченого матеріалу 445. Загальний член числової послідовності задано формулою an=0,5(n-2)2 Обчисліть перші п'ять членів послідовності і перевірте, чи правильно вони зображені: Точками на координатній прямій Точками координатної площини. б) 453. Скінченні послідовності задано графіками. Задайте їх за допомогою формули загального члена. Запитання для самоперевірки Що таке числова послідовність? Що називають членами числової послідовності? Які ви знаєте способи задання числових послідовностей? Наведіть приклади задання числової послідовності формулою її загального члена. Поняття числових послідовностей

https://svitppt.com.ua/algebra/pismove-mnozhennya-na-odnocifrove-chislo1.html

Письмове множення на одноцифрове число

https://svitppt.com.ua/uploads/files/65/d7bfdd32800092ed1a520a541bf8dff4.pptx

files/d7bfdd32800092ed1a520a541bf8dff4.pptx

МАТЕМАТИКА Письмове множення на одноцифрове число 21 травняКласна робота Запишіть парні числа від 10 до 40: 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 Запишіть непарні числа від 1 до 31: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 Запишіть у вигляді розрядних доданків числа: 784 = 700+80+4 74 = 70+4 390 = 300+90 309 = 300+9 * 2, 4, 8, 9, 30, 1, 7, 11, 0, 100 Математичний диктант: ПЕРЕВІРКА 10, 20, 40, 45, 150, 5, 35, 55, 0, 500 Тема уроку: Письмове множення 321 * 3 = (300+ 20+1)*3 = 300*3+20*3+1*3 = 900+60+3 = 963 4 2 №1109 №1108 54 39 223 114 3 4 4 7 162 156 892 798 Задача 1101 Чорні – ?кг, 60 овець – по 4кг 340кг Білі – ?кг,решта,20 овець – по ? кг ПЕРЕВІРКА 4* 60 = 240(кг) – настригли з чорних овець; 340 - 240 = 100(кг) - настригли з білих овець; 100 : 20 = 5 (кг) Відповідь: по 5 кг вовни настригли з кожної білої вівці. Задача 1102 І день – 120 ос. ? ос. ІІ день - ?ос., у 3 рази більше Третьокл. - ?ос., 1 від усіх 6 Скільки дітей відвідало виставку другого дня? Скільки всього дітей відвідало виставку за два дні? Скільки третьокласників відвідало виставку? ПЕРЕВІРКА 1) 120*3 = 360(ос.) – відвідало другого дня; 2) 120+360 = 480(ос.) – всього відвідало виставку; 3)480:6 = 80(ос.) Відповідь: 80 третьокласників відвідало виставку. Домашнє завдання С.166 №1100, 1111

https://svitppt.com.ua/algebra/rivnosilni-rivnyannya-rivnyannyanaslidok-rivnosilni-nerivnosti1.html

Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Рівносильні нерівності

https://svitppt.com.ua/uploads/files/35/8468732ec76795a8d1fbe11aeab8ffe3.pptx

files/8468732ec76795a8d1fbe11aeab8ffe3.pptx

Алгебра і початки аналізу. 10 клас(за підручником Мерзляк А. Г.) Тема уроку: Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Рівносильні нерівності Область визначення рівняння Нехай задано дві функції y = f (x) та y = g (x) і поставлено задачу знайти множину значень аргументу x, при яких значення функцій f і g рівні. У такому випадку кажуть, що треба розв’язати рівняння f (x) = g (x). Означення. Областю визначення рівняння f (x) = g (x) називають множину значень змінної x, при яких мають зміст обидві частини рівняння. З означення випливає, що областю визначення рівняння f (x) = g (x) є множина D (f)  D (g). Приклади Незважаючи на те що рівняння x2 = –2 не має коренів, його областю визначення є множина дійсних чисел. Зрозуміло, що кожний корінь рівняння обов’язково належить його області визначення. Цей факт ілюструє діаграма Ейлера (рис. 56). Наприклад, не розв’язуючи рівняння можна сміливо стверджувати, що число 0 не є його коренем. Розглянемо два рівняння: Очевидно, що кожне з них має одні й ті самі корені: –2 і 2. У таких випадках кажуть, що рівняння x2 = 4 і |x| = 2 рівносильні. Рівносильні рівняння Означення. Рівняння f1 (x) = g1 (x) і f2 (x) = g2 (x) називають рівносильними, якщо множини їх коренів рівні. Рівносильність рівнянь Теорема 7.1. Якщо до обох частин даного рівняння додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному. Теорема 7.2. Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо рівняння, рівносильне даному. Теорема 7.3. Якщо обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному. Означення. Якщо множина коренів рівняння f2 (x) = g2 (x) містить множину коренів рівняння f1 (x) = g1 (x), то рівняння f2 (x) = g2 (x) називають наслідком рівняння f1 (x) = g1 (x). З рівняння випливає рівняння x2 = 25. На рисунку 57 означення рівняння-наслідку проілюстровано за допомогою діаграми Ейлера. Оскільки порожня множина є підмножиною будь-якої множини, то, наприклад, наслідком рівняння x2 = –5 є будь-яке рівняння з однією змінною x. Зауважимо, що коли два рівняння рівносильні, то кожне з них можна вважати наслідком іншого. Ті корені рівняння-наслідку, які не є коренями даного рівняння, називають сторонніми коренями даного рівняння. Приклад Рівносильні нерівності Означення. Нерівності називають рівносильними, якщо множини їх розв’язків рівні. Наведемо кілька прикладів. Нерівності є рівносильними. Справді, кожна з них має єдиний розв’язок x = 0. Нерівності x2 > –1 і | x | > –2 є рівносильними, оскільки множиною розв’язків кожної з них є множина дійсних чисел. Оскільки кожна з нерівностей | x | < –1 і 0x < –3 розв’язків не має, то вони також є рівносильними. Правила рівносильних перетворень Розв’язуючи рівняння, ми заміняли його іншим, більш простим рівнянням, але рівносильним даному. За аналогічною схемою розв’язують і нерівності, використовуючи такі правила: Якщо до обох частин нерівності додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній. Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини нерівності в іншу, замінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній. Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній. Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній. Нерівність-наслідок Означення. Якщо множина розв’язків першої нерівності є підмножиною множини розв’язків другої нерівності, то другу нерівність називають наслідком першої нерівності. Наприклад, нерівність x > 2 є наслідком нерівності x > 5 (рис. 58). Оскільки порожня множина є підмножиною будь-якої множини, то будь-яка нерівність з однією змінною є наслідком нерівності, яка не має розв’язків, наприклад нерівності | x | < 0. Первинне закріплення вивченого матеріалу Що називають областю визначення рівняння f (x) = g (x)? Які рівняння називають рівносильними? За допомогою яких перетворень рівняння можна отримати рівняння, рівносильне даному? Яке рівняння називають наслідком даного рівняння? Які корені називають сторонніми коренями даного рівняння? Які нерівності називають рівносильними? За допомогою яких перетворень нерівності можна отримати нерівність, рівносильну даній? Яку нерівність називають наслідком даної нерівності? Тренувальні вправи Домашнє завдання Читати § 7 Готувати відповіді на контрольні запитання 1-8 (ст.68) Виконати вправи №№ 199, 204, 206, 210. Розвязати вправи із рубрики “Готуємося до вивчення нового матеріалу” №№211-213 (диференційований вибір)

https://svitppt.com.ua/algebra/rozvyazuvannya-zadach-na-vidsotki.html

Розв'язування задач на відсотки

https://svitppt.com.ua/uploads/files/5/12259cef123a557beeb259f6b78a99a9.pptx

files/12259cef123a557beeb259f6b78a99a9.pptx

Розв'язування задач на відсотки 5 клас Природа – наш спільний дім Наша Земля Ліс На Землі ліси займають близько 3 млрд. га, або 22% суші. Яка площа суші планети Земля? Ліси — могутнє джерело кисню атмосфери. Чотири дорослих дерева за добу віддають в атмосферу стільки кисню, що його вистачає для дихання однієї людини. Значення лісів Ліс дає сировину для виготовлення паперу, тканини, штучної шкіри, синтетичного каучуку, численних полімерних матеріалів, різних хімікатів, деревину для будівництва і виготовлення меблів, харчові продукти (гриби, ягоди), корми для тваринництва, сприяє підтриманню нормального водного режиму річок, оздоровлює клімат і атмосферу, регулює клімат на величезних територіях, захищає грунти від ерозії й сприяє підвищенню врожайності полів. Рельєф України Рельєф України досить різноманітний. 70 % сучасної поверхні України займають низовини, 25 % – це височини і решту – гори. Яку площу займають гори в України, якщо її площа 603,7 кв.км? Світовий океан Світовий океан займає приблизно 71% поверхні нашої планети. Він поділяється материками на чотири океани: Тихий, Атлантичний, Індійський і Північний Льодовитий. Найбільший і найглибший із них — Тихий. Всі океани мають моря, затоки, протоки. Яка площа Світового океану? Значення Світового океану людиною, — кухонна сіль, магній, бром та інші. Рослинний і тваринний світ океанів і морів багатий і різноманітний. У воді живуть численні ссавці (кити — найбільші тварини на земній кулі, тюлені, моржі, морські котики), а також тисячі видів риб, молюсків, ракоподібних, морських водоростей тощо. Органічний світ океанів людство використовує як цінний харчовий продукт. Величезні запаси нафти і газу сховані в надрах морського дна. Морську воду можна назвати рідкою рудою, тому що в ній розчинено багато речовин, які широко використовуються Все на землі, все треба берегти – І птаха й звіра, і оту рослину, Не чванься тим, що цар природи ти – Бо врешті, ти його частинка. Друже мій, люби життя, Люби людей, природу, А кривду кинь у забуття, Як камінь в тиху воду. Б. Лепкий Дякую за увагу!

https://svitppt.com.ua/algebra/rozvyazuvannya-kvadratichnih-nerivnostey0.html

Розв'язування квадратичних нерівностей

https://svitppt.com.ua/uploads/files/5/0b995eb113aca71908a756518aee4c4c.pptx

files/0b995eb113aca71908a756518aee4c4c.pptx

АЛГЕБРА 9 КЛАС «Розв'язування квадратичних нерівностей» Підготувала вчитель Дмитрівської ЗОШ І-ІІІ ступенів Ніколаєва Леся Дмитрівна Перевірка домашнього завдання №273 В) [ -0,5; 3,5]; Г) ( 1; 2) №274 Д) [-4; 15] №275 Б) [1,5; 2] Математика – це наука, яка вимагає якнайбільшої фантазії. С. Ковалевська Який напрям віток параболи? Чи має функція нулі? А) y=2x²-7x+6; Б) y=x²-3x+4; В) y=x²+12x+9 Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники «Займи позицію» Чи можна розкласти квадратний тричлен на лінійні множники: x²-7x+10; x²-5x+7 ? «Будь уважним!» Відповіді: Розв'язування квадратичних нерівностей методом інтервалів Алгоритм розв'язування нерівностей методом інтервалів 1. Знайти область визначення функції y=f(x). 2. Знайти нулі функції y=f(x). 3. Нанести нулі на координатну пряму. 4. Визначити знаки функції f(x) на кожному інтервалі. 5. Вибрати інтервали, що відповідають потрібному знаку нерівності. 6. Записати відповідь. Розв'язати нерівність А.Ейнштейн Чиста математика – це свого роду поезія логіки ідей    На скільки проміжків розбита координатна пряма? Домашнє завдання: Всім щиро дякую!

https://svitppt.com.ua/algebra/teoriya-normalizacii.html

Теория нормализации

https://svitppt.com.ua/uploads/files/26/20c15f94bf16aee5f7452807d4e9e39e.pps

files/20c15f94bf16aee5f7452807d4e9e39e.pps

https://svitppt.com.ua/algebra/liniyna-nerivnist-z-odnieyu-zminnoyu1.html

Лінійна нерівність з однією змінною

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/38bf8f4b1703bf970570bf4edec1dd25.pptx

files/38bf8f4b1703bf970570bf4edec1dd25.pptx

Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратичні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 2 Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Лінійна нерівність з однією змінною. Рівносильні нерівності Система (та сукупність) нерівностей з однією змінною Числові проміжки. Переріз і об'єднання проміжків Нерівності, що містять модуль Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв’язування систем ( та сукупностей) лінійних нерівностей з однією змінною. Доведення нерівностей Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв'язування вправ Пункт 2.1. Нерівності зі змінною Лінійна нерівність з однією змінною та її розв'язок Як розв'язують лінійну нерівність Рівносильні перетворення нерівностей Ілюстрації властивостей Числові проміжки Приклади Лінійна нерівність з однією змінною Пригадайте Як впливає на правильну числову нерівність: а) додавання до обох її частин одного і того самого числа; б) множення (ділення) обох її частин на одне і те саме додатне число? 2) Закінчіть фразу: Щоб отримати правильну нерівність у результаті множення або ділення обох частин правильної нерівності на одне і те саме від'ємне число, потрібно … Нерівності зі змінними Крім числових нерівностей, існують нерівності, які містять змінні – одну або декілька. Наприклад: x+1<4; x-4>2x+5 – нерівності першого степеня; x2-x<3 – нерівність другого степеня; 2x+y>10 – нерівність першого степеня з двома змінними. Надаючи змінній у нерівності зі змінною певного числового значення, отримуємо числову нерівність. Наприклад: Надамо змінній х у нерівності х+4<4 значень -1, 2, 3, 9. Отримаємо відповідні числові нерівності: -1+1<4; 2+1<4; 3+1<4; 9+1<4. Очевидно, що перші дві нерівності – правильні, а дві інші – неправильні. Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок Приклади: а) 2х+4>0 (a=2, b=4); б) 3x-2<0 (a=3, b=-2); в) 6-5x<0, або -5x+6<0 (a=-5, b=6); г) -4x<0 (a=-4, b=0); д) 0· x>0 (a=0, b=0). Лінійною нерівністю з однією змінною називають нерівність виду aх+b>0 (ax+b<0), де a і b дані числа, а x - змінна Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок Приклад: а) Число 3 є розв'язком нерівності 2х+4>0, бо при х=3 числова нерівність 2·3+4=6+4=10>0 – правильна. Число -1 також є розв'язком даної нерівності, бо 2·(-1)+4=-2+4=2>0. Розв'язком лінійної нерівності з однією змінною називають значення змінної, підставивши яке вдану нерівність, отримують правильну числову нерівність. Кажуть, що це значення змінної задовольняє дану нерівність. Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок Як розв'язують лінійну нерівність Розв'язати нерівність – означає знайти всі її розв'язки. Дві нерівності, що мають одні і ті самі розв'язки, називаються рівносильними. Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок Основні властивості нерівностей зі змінними 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в другу будь-який доданок з протилежним знаком, то отримаємо нерівність, рівносильну даній Наприклад, перенісши у нерівності 2х+4>0 доданок 4 з протилежним знаком у праву частину, отримаємо 2x>-4, яка рівносильна даній. Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок Основні властивості нерівностей зі змінними 2. Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній Наприклад, помноживши обидві частини нерівності 2х+4>0 на число 5, отримаємо 10x+20>0, яка рівносильна даній. Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок Основні властивості нерівностей зі змінними 3. Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме від'ємне число і змінити знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній Наприклад, помноживши обидві частини нерівності 2х+4>0 на число -5 і помінявши знак нерівності на протилежний , отримаємо -10x-20<0, яка рівносильна даній. Первинне закріплення вивченого матеріалу Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок 1). 2x+4>0 2x>-4 2x>-2 2). 3x-2<0 3x<2 х<2/3 3). 6-5x<0, -5x<-6 x>1,2 4). -4x<0 x>0 5). 0· x>0. Нерівність не має розв'язків, бо при будь-якому значенні х у лівій частині маємо нуль. Розвязування нерівностей Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок Приклади: а) 2х+4>0, x>-2 або (-2; ∞) – читають: «Проміжок від -2 до нескінченності»; б) 3x-2<0, Читають: «Проміжок від мінус нескінченності до » в) 6-5x<0, – читають: «Проміжок від 1,2 до нескінченності»; Числові проміжки Розв'язки нерівностей – певні числові множини, які називають числовими проміжками Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок Число, яке належить проміжку, зображують затушованим кружечком. Зображений числовий проміжок позначають так: [-2;∞), читають: “Проміжок від -2, включаючи -2, до нескінченності” і записують у вигляді нерівності x≥-2. Числові проміжки Числовий проміжок (-∞;∞) називають числовою прямою. Це множина всіх дійсних чисел. Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок Числовий проміжок, зображений на рисунку, позначають так: (-∞; ], читають: “Проміжок від мінус нескінченності до включно”. Відповідна числова нерівність має вигляд x≤ . Числові проміжки Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок Знаки ≥ і ≤ називають знаками нестрогої нерівності і читають так: ≥ - більше або дорівнює (не менше) ≤ - менше або дорівнює (не більше) Числові проміжки Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок Якщо число х є одночасно розв'язком нерівностей х>-2 і х<1, то воно задовольняє подвійну нерівність -2<x<1. Відповідний числовий проміжок, який утворюють усі числа, що задовольняють цю нерівність, зображено на рисунку. Цей проміжок позначають так: (-2; 1). Числові проміжки Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок Числовий проміжок, що відповідає подвійній нерівності -2≤x≤1 зображають так, як на рис. і записують: [-2; 1]. Числові проміжки Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок Числовий проміжок, що відповідає нерівності a<x<b, тобто (a; b), називають відкритим проміжком або інтервалом. Числовий проміжок, що відповідає нерівності a≤x ≤b, тобто [a; b], називають замкненим проміжком або відрізком. Числові проміжки Лінійна нерівність з однією змінною та її розв’язок Належність числа певній числовій множині позначають знаком . Запис х[-2; 1] означає, що х є будь-яким числом з проміжку [-2; 1]. Розв'язок нерівності 2x+4>0 можна записати так: x>-2 або x(-2; ∞). Числові проміжки

https://svitppt.com.ua/algebra/trigonometrichni-nerivnosti0.html

Тригонометричні нерівності

https://svitppt.com.ua/uploads/files/19/1ecce7829ce2942d2cdf2f3a8202365a.ppt

files/1ecce7829ce2942d2cdf2f3a8202365a.ppt

0 x y a t1 -t1 -1 1 0 x y a t1 -1 1 0 x y a t1 -1 1 0 x y a t1 -1 1

https://svitppt.com.ua/algebra/trigonometrichni-funkcii-chislovogo-argumentu.html

Тригонометричні функції числового аргументу

https://svitppt.com.ua/uploads/files/19/070659535e259e30ba53bac2831afde8.ppt

files/070659535e259e30ba53bac2831afde8.ppt

y = sin x y = cos x + + + - - - - - - + + + +

https://svitppt.com.ua/algebra/progresiya3.html

Прогресія

https://svitppt.com.ua/uploads/files/25/fb1099ed6bc288050e00e0e1075e7e2b.pptx

files/fb1099ed6bc288050e00e0e1075e7e2b.pptx

Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 6 Арифметична та геометрична прогресії Числові послідовності. Властивості числових послідовностей Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії Сума перших n членів арифметичної прогресії Геометрична прогресія. Формула n-го члена геометричної прогресії Сума перших n членів геометричної прогресії Нескінченна геометрична прогресія (|q| < 0) та її сума Розв’язування вправ Пункт 10.2. Прогресії як часткові види числових послідовностей, трапляються у папірусах II тисячоліття до н.е. На зв’язок між прогресіями вперше звернув увагу великий АРХІМЕД ( 287–212 рр. до н.е) Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії Древній Єгипет Найдавнішою задачею, пов’язаною з прогресіями, вважають задачу з єгипетського папірусу Ахмеса Райнда про поділ 100 мір хліба між п’ятьма людьми так, щоб другий одержав на стільки більше від першого, на скільки третій одержав більше другого і т. д . У V ст. до н. е. греки знали слідуючі прогресії і їх суми: Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії Правило для знаходження суми членів арифметичної прогресії дається у «Книзі абака» (1202 р.) італійського вченого-математика Леонардо Фібоначчі. Правило для суми скінченної геометричної прогресії зустрічається у книзі Н. Шюке «Наука про числа», яка побачила світ у 1484 році. Наука про числа Цікаво знати В англійських підручниках з’явилось позначення арифметичної і геометричної прогресій: Англія XVIII століття Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії Поняття арифметичної прогресії Розглянемо числові послідовності та звернемо увагу на їх особливості: а) 7; 10; 13; 16; 19; (а — діаметри шківів (у см), насаджених на спільний вал). Кожен член цієї послідовності, починаючи з другого, можна отримати, додавши до попереднього члена число 3. б) 6; 4,5; 3; 1,5; 0; -1,5; ... У послідовності кожен член, починаючи з другого, можна отримати, віднявши 1,5 від попереднього члена (або додавши до попереднього члена -1,5). Такі послідовності називають арифметичною прогресією. Поняття арифметичної прогресії Числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому членові, до якого додають одне і те саме число, називається арифметичною прогресією. Інакше кажучи, числова послідовність a1 , a2 , а3, ..., аn, ... є арифметичною прогресією, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова an+1 = a n + d. З цієї рівності випливає рівність an+1 - a n = d яка означає, що різниця між будь-яким наступним і попереднім членами арифметичної прогресії дорівнює одному і тому самому числу, яке тому і називають різницею прогресії (d). Якщо різниця прогресії d > 0, то прогресія є зростаючою, якщо різниця d < 0, то прогресія є спадною, а при d = 0 — сталою. Поняття арифметичної прогресії Приклад 1. прогресія 20; 24; 28; ... є зростаючою (d = 4 > 0); Приклад 2. прогресія 11; 8; 5; ... є спадною (d = -3 < 0); Приклад 3. прогресія 2; 2; 2; ... є сталою (d = 0). Формула загального члена арифметичної прогресії Нехай маємо арифметичну прогресію: -12; -8; -4; 0; 4; ... . Закономірність утворення її членів очевидна: в даному випадку різниця прогресії d = 4. Продовжуючи додавати це число до кожного нового члена прогресії, можемо обчислити значення її члена, який стоїть на будь-якому місці (з будь-яким порядковим номером). Однак цей шлях громіздкий і не досить раціональний. Уявімо, скільки потрібно виконати обчислень, щоб знайти значення, наприклад, сотого члена даної прогресії. Формула загального члена арифметичної прогресії аn = а1 + (n-1)d З означення арифметичної прогресії випливає: а2 = а1 + d а3 = а2 + d = (а1 + d) + d = а1 + 2d; а4 = а3 + d = (а1 + 2d) + d = a1 + 3d; а5 = а4 + d = (а1 + 3d) + d = а1 + 4d і т.д. Аналізуючи здобуті формули, помічаємо, що відповідний член прогресії отримують додаванням до першого її члена а1 різниці прогресії d, помноженої на число, яке на 1 менше від порядкового номера шуканого члена. Поширюючи за аналогією цей висновок на наступні члени , можемо записати, що аn = а1 + (n-1)d. Таким чином, ми отримали формулу загального члена арифметичної прогресії. Формула загального члена арифметичної прогресії аn = а1 + (n-1)d Приклад 1. Знайти 7-й член арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 9, d = -2. Розв'язання. а7 = а1 + 6d = 9 + 6  (-2) = -3; а7 = -3. Приклад 2. Знайти перший член арифметичної прогресії (аn), якщо її п'ятий член дорівнює 12, а різниця становить 4. Розв'язання. а5 = a1 + 4d; 12 = а1 + 4  4; а1 = 12 - 16 = -4; а1 = -4. Формула загального члена арифметичної прогресії аn = а1 + (n-1)d Приклад 3. Знайти перший член і різницю арифметичної прогресії (аn), якщо а6 = 18 і а11 = З0. Розв'язання. Знайдемо d.а6 = а1 + 5d, a11 = а1 + 10d; a11 - а6 = (а1 + 10d ) - (а1 + 5d) = 5d; 30-18 =5d, d = 2,4 Знайдемо а1 : а6 = а1 + 5d 18 = а1 + 52,4; 18 = а1 + 12; а1 =18 - 12 = 6; a1 = 6. Відповідь. a1 = 6, d = 2,4. Запитання для самоперевірки Яку числову послідовність називають арифметичноюпрогресією? Що таке різниця арифметичної прогресії? Як обчислити будь-який член арифметичної прогресії,знаючи її перший член і різницю? Чи правильне твердження: арифметичну прогресіюможна задати її першим членом і різницею прогресії? Чи правильне твердження: арифметичну прогресіюзадають будь-які два її члени? Первинне закріплення вивченого матеріалу 471. Які з послідовностей є арифметичними прогресіями:а) 2; 5; 8; 11; ...; б) 2; 6; 12; 24;...; в) 7; 4; 1; -2;...; г) 1; 2; 3; 5; 8;... ? 472°. Сходи, що ведуть на веранду, мають 8 східців. Перший східець — бетонна плита заввишки 10 см; усі інші східці мають висоту 15 см. На якій висоті від землі розташовані 2-й, 3-й, 4-й східці та підлога веранди? Первинне закріплення вивченого матеріалу 483. На стороні АВ кута ABC відкладено рівні відрізки BA1 , А1С4 , А2С3, ..., А7С8 і через їхні кінці проведено паралельні прямі до перетину зі стороною ВС. Довжина відрізка А1С1 дорівнює 2,5 см. Знайдіть довжину відрізків А4С4 і А8С8

https://svitppt.com.ua/algebra/trigonometrichni-rivnyannya0.html

Тригонометричні рівняння

https://svitppt.com.ua/uploads/files/19/b01a7235f77977024ab3b59aeadbfd75.ppt

files/b01a7235f77977024ab3b59aeadbfd75.ppt

0 x y a t1 -t1 -1 1 x y cost = 0 cost = -1 cost = 1 0 1 -1 0 0 x y a t1 -1 1 x y sint = 0 sint = -1 sint = 1 0 1 -1 0

https://svitppt.com.ua/algebra/teoriya-ymovirnosti-laboratorna-robota-adds.html

Теорія ймовірності_Лабораторна робота №2Adds

https://svitppt.com.ua/uploads/files/26/70beea6156664c1c997494db34796177.ppt

files/70beea6156664c1c997494db34796177.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/istoriya-viniknennya-chisel1.html

історія виникнення чисел

https://svitppt.com.ua/uploads/files/65/2c6f2cfd2614c525ceb0fd044408ab99.pptx

files/2c6f2cfd2614c525ceb0fd044408ab99.pptx

Мир чисел (для учащихся 5 класса) Історія виникнення чисел ЗМІСТ 1. Рахунок у первісних народів. 2. Системи числення (системи нумерації ). 2.1. Давньоєгипетська ієрогліфічна нумерація. 2.2. Система запису чисел в Давньому Римі. 2.3. Запис чисел у Давній Русі. 2.4. Арабська нумерація. Вчителем у них було саме життя 1. Рахунок у первісних народів Вчитись рахувати люди почали в давні часи Ніхто не знає, коли вперше з’явились рахунок і число. Але вже кілька десятків тисяч років назад люди збирали плоди та ягоди, полювали на диких тварин, виготовляли кам’яні ножі, сокири, наконечники … Необхідно було вчитися рахувати! Їм треба було знати, чи вистачить здобичі до наступного полювання, чи багато риби впіймали , тощо. Спочатку числа показували на пальцях. В країнах, де люди ходили босоніж, за пальцями рук та ніг легко було рахувати до 20.  За їх допомогою можна було рахувати до 5, якщо взяти дві руки, то й до десяти. Минали роки. Змінювалось життя людини. Людям приходилося все частіше стикатися з більшими числами.Потрібно було придумати, як їх записувати. Люди приручили тварин, на землі з’явились перші скотарі, землеробці… Першим способом «запису» чисел були зарубки на палицях, глиняні кульки та інші фігурки Индійці в Америці та народи давньої Азії зображали числа за допомогю вузликів на мотузках різної довжини та кольору. Системи числення Системи нумерації- способи читання та запису чисел або Давній Єгипет Як і більшість людей для рахунку невеликої кількості предметів Єгиптяне використовували палички. Кожна одиниця зображувалась окремою паличкою. Такими путами єгиптяне зв’язували корів. Якщо потрібно зобразити кілька десятків, то ієроглиф повторювали необхідну кількість разів. Теж саме відноситься й до інших ієроглифів. 1 10 Це мірна мотузка, якою виміряли земельні ділянки після розливу Нилу. 100 1000 Квітка лотосу Головастик 100 000 1 000 000 10 000 000 Єгиптяне покланялися богу Ра, богу Сонця й, напевно,так зображали найбільше своє число Побачивши таке число, звичайна людина дуже здивується та піднесе руки до неба. 10 000 Піднятий палець – будь уважним 2.1. Давньоєгипетська ієрогліфічна нумерація Число 1 245 386  у давньоєгипетському записі виглядало так: 1 2 4 5 3 8 6 Приклад: Давній Рим 2.2. Система запису чисел в Давньому Римі В римскій нумерації 7 цифр позначаються буквами: Інші числа записуються комбінацією цих знаків ПРАВИЛА РИМСЬКОЇ НУМЕРАЦІЇ: 1.Якщо числа в комбінації йдуть від більших до менших, то вони додаються. Xl - 10+1=11 2.Якщо від менших до більших – значення числа віднімається від наступного: ІV – 5-1=4 ПРАВИЛА РИМСЬКОЇ НУМЕРАЦІЇ: 3.Підряд може бути записано не більше трьох однакових знаків. 40 – XL =50-10(не можна записувати: ХXХХ=10+10+10+10) 4.Більшому числу може передувати тільки одне менше. 8 – VIII =5+3 (не можна записувати: ІІХ=10-2) ЗАВДАННЯ Запишіть римськими цифрами числа від 1 до 10, від 60 до 70. l-1, ll-2, lll-3, lX-4, V-5, Vl-6, Vll-7, Vlll-8, lX-9, X-10. ВІДПОВІДЬ LX-60, LXl-61, LXll-62, LXlll-63, LXlV-64, LXV-65, LXVl-66, LXVll-67, LXVlll-68, LXlX-69, LXX-70. ВІДПОВІДЬ Вкажіть, які це числа: ЗАВДАННЯ ХХVII XLIX CXCVIII ВІДПОВІДЬ ХХVII – 27 =10+10+5+2 XLIX – 49=50-10+10-1 CXCVIII – 198=100+100-10+5+3 2.3. Запис чисел у Давній Русі  Предки російського народу – слов’яни для позначення чисел, як і римляни, застосовували букви. Щоб відрізняти букви від чисел, вони використовували знак титло. Так можна було записувати числа до 999. - 863 Для позначення більших чисел слов’яни винайшли свій оригінальний спосіб: Число 10 000 знову позначалось тією ж буквою, тільки без титлу, але його вже обводили колом. •десять тисяч – тьма. Для 100 000 ставилося коло з точок: десять тем – легион (100 000), десять легионов – леодр (1 000 000), десять леодров – ворон (10 000 000), десять воронов – колода (100 000 000). 2.3. Запис чисел у Давній Русі Для чисел більших за 999 використовувався знак тисяч , який ставився попереду символа, який позначав число. 2.4. Арабська нумерація Це, найрозповсюдженіша на сьогоднішній день нумерація, якою ми користуємося. Цифри, які ми застосовуємо у наш час : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 склалися в Індії близько 400 р.н.е.  Десь через 400 років ними стали користуватися араби, які трохи змінили їх та завезли до Європи. У Росії арабська нумерація стала використовуватися при Петрі I (до кінця XVII століття зберігалася слов’янська нумерація) 2.4. Арабська нумерація ПІДВЕДЕМО ПІДСУМОК 1. Коли люди почали рахувати? ПІДВЕДЕМО ПІДСУМОК 2. Як рахували давні люди? ПІДВЕДЕМО ПІДСУМОК 3. У всіх народів була одна єдина нумерація чисел? ПІДВЕДЕМО ПІДСУМОК 4. Які найпоширеніші нумерації дійшли до наших днів? ПІДВЕДЕМО ПІДСУМОК 5. Розкажіть коротко історію виникнення чисел 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,…

https://svitppt.com.ua/algebra/povtorennya-i-sistematizaciya-materialu-vivchenogo-v-klasi.html

повторення і систематизація матеріалу вивченого в 7 класі

https://svitppt.com.ua/uploads/files/65/b8b8bd23b3fc2f42af91de7dd6a6b24b.pptx

files/b8b8bd23b3fc2f42af91de7dd6a6b24b.pptx

Раціональні вирази та дії з ними Основна властивість дробу; скорочення дробів; дії з дробами; тотожні перетворення дробів повторити поняття «цілий вираз», «дробовий вираз», «раціональний вираз», «раціональний дріб», «допустимі значення змінної у виразі», «основна властивість дробу», «скорочення дробу»; продовжити формувати вміння виконувати арифметичні дії з раціональними дробами та тотожні перетворення раціональних виразів; розвивати пам'ять, увагу, логічне мислення, культуру математичного мовлення й записів, вміння узагальнювати інформацію; виховувати активність, упевненість у власних силах, відповідальність, старанність, наполегливість Мета уроку «Те що я чую, я забуваю. Те, що я чую й бачу, Я трохи пам’ятаю. Те, що я чую, бачу й обговорюю, Я починаю розуміти. Коли я чую, бачу, обговорюю і роблю, Я набуваю знань і навичок». Конфуцій Мотивація навчальної діяльності. Постановка теми та мети уроку Назвіть вирази, які є цілими, а які – дробовими: Відповіді: Схема виразів З наведених раціональних виразів виберіть дробово раціональні вирази та цілі раціональні вирази  Відповіді: Установіть відповідність між виразом і допустимими значеннями його змінної Відповіді: 1 – Г; 2 – Б ; 3 – А; 4 – Е; 5 – В При яких значеннях змінної дані дроби дорівнюють нулю ? Відповіді: Основна властивість дробу Скоротіть дроби: Відповіді: Додавання і віднімання дробів Гра « Що зашифровано? » Відповідь: Відповідь: дроби Правила множення і ділення дробів Знайти значення виразу Прізвище математика Порядок виконання дій при перетворенні раціональних виразів: 1) дії в дужках; 2) дії третього ступеня ( піднесення до степеня ); 3) дії другого ступеня ( множення, ділення ); 4) дії першого ступеня ( додавання, віднімання ). Виконання вправ на всі дії з раціональними виразами Відповіді: Доведіть тотожність Підсумок уроку. Рефлексія 1. Якими правилами користувалися під час розв'язування вправ? 2. Яке завдання було найскладнішим? 3. Яке завдання виконали з легкістю? 4. Що необхідно вдома доопрацювати, щоб добре засвоїти цю тему? Домашнє завдання Творче завдання Скласти картку для сусіда на встановлення відповідностей між виразом і допустимими значеннями його змінної Дякую за увагу!

https://svitppt.com.ua/algebra/rozvyazuvannya-kvadratnih-nerivnostey1.html

Розв’язування квадратних нерівностей

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/e101c6c455788636912725b46cf8d22b.pptx

files/e101c6c455788636912725b46cf8d22b.pptx

Тема: Розв’язування квадратних нерівностей Урок алгебри у 9 класі Вчитель. Ковалець І.В. Девіз уроку: «Математику не можна вивчати, спостерігаючи як це роблять інші» А. Нівен. Перевірка домашнього завдання№ 402 № 404 Завдання 1 Знайдіть область визначення функції: Завдання 1 Знайдіть область визначення функції: План розв'язання Утворити нерівність підкореневий вираз > 0; Розв'язати її; Розв'язок нерівності і буде область визначення даної функції. Завдання 2 Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння має два різні дійсні корені: Завдання 2 Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння має два різні дійсні корені: План розв'язання: Дане квадратне рівняння має два дійсні корені, якщо дискримінант більший нуля; Знаходимо дискримінант; Утворюємо відповідну нерівність; Розв'язуємо її; Записуємо відповідь. Виконання усних вправ: На рисунку зображено графік функції . Визначте знак коефіцієнта а, дискримінанта D. Виконання усних вправ: На рисунку зображено графік функції . Визначте знак коефіцієнта а, дискримінанта D. a>0,D>0; a<0, D>0; a>0, D<0; a<0, D=0. Продовжте речення: «Щоб розв’язати квадратну нерівність, достатньо… знайти корені квадратного тричлена й побудувати ескіз його графіка. Як відповідь записуються проміжки осі Ох. Домашнє завдання Повторити теоретичний матеріал § 2 п. 12, Розв'язати № 410, 415, 418. Дякую за увагу!

https://svitppt.com.ua/algebra/tematichna-kontrolna-robota-z-temi-arifmetichniy-kvadratniy-korin-z-ch.html

Тематична контрольна робота з теми «Арифметичний квадратний корiнь з числа та його властивостi. Тотожнi перетворення iррацiональних виразiв»

https://svitppt.com.ua/uploads/files/44/1aefddaf8989204edacabed3c1117274.ppt

files/1aefddaf8989204edacabed3c1117274.ppt

a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) a) (a > 0, b > 0)

https://svitppt.com.ua/algebra/rozvyazuvannya-pokaznikovih-rivnyan.html

Розв'язування показникових рівнянь

https://svitppt.com.ua/uploads/files/2/0e2ad9e5ddc00e37b9776e389534071a.pptx

files/0e2ad9e5ddc00e37b9776e389534071a.pptx

Розв'язування показникових рівнянь Підготувала Викладач математики УВКУ КНТЕУ Роля О.П. Мета уроку: Навчальна: узагальнити знання учнів з теми, вдосконалити вміння розв’язувати показникові рівняння; Розвиваюча: розвивати логічне мислення учнів, увагу, пам'ять, мову, навички колективної та самостійної роботи; Виховна: виховувати доброзичливість, старанність, дисциплінованість, культуру математичних записів, інтерес до математики; 1-й етап: «Стажування» Дайте відповідь на питання: Які рівняння називаються показниковими? 3. Які способи розв’язування показникових рівнянь ви знаєте? Вкажіть серед заданих рівнянь показникові. Поясніть свій вибір. 1-й етап: «Стажування» 4. Заповніть пропуск. Обґрунтуйте міркування: 2-й етап: «Експертиза речових доказів» Знайдіть помилки: Знайдіть помилки: Розташуйте у правильному порядку Розв'яжіть рівняння: Чорнобильська трагедія Де х – час після аварії, Т – період напіврозпаду радіоактивної речовини. 5-й етап «Висунення звинувачення » Розв'яжіть задачу Задача: Через який час після аварії кількість радіоактивних атомів зменшиться у 1024 рази? Домашнє завдання: Розв'яжіть рівняння:

https://svitppt.com.ua/algebra/u-kozhniy-ditini-sonce-tilki-dayte-yomu-svititi.html

У кожній дитині – сонце. Тільки дайте йому світити

https://svitppt.com.ua/uploads/files/13/7658bdbec12ce9a561d840e5e4d0ac48.ppt

files/7658bdbec12ce9a561d840e5e4d0ac48.ppt

72,2% 72,2% 77,7% 77,7

https://svitppt.com.ua/algebra/tablici.html

Таблиці

https://svitppt.com.ua/uploads/files/20/db4aadf933078c8fd9064880775eebf1.ppt

files/db4aadf933078c8fd9064880775eebf1.ppt

Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level

https://svitppt.com.ua/algebra/dilennya-dvocifrovih-chisel-na-odnocifrove-sposobom-rozkladannya-na-zr.html

Ділення двоцифрових чисел на одноцифрове способом розкладання на зручні доданки

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/9a156e7d89514dbff80f6adcb357b9b8.ppt

files/9a156e7d89514dbff80f6adcb357b9b8.ppt

72=__+__ 91=__+__ 84=__+__ 81=__+__ 90=__+__ 96=__+__ 95=__+__ 52=__+__ 80=__+__ (a+b):c= a:c+b:c

https://svitppt.com.ua/algebra/dekartovi-koordinati-i-vektori-na-ploschini.html

Декартові координати і вектори на площині

https://svitppt.com.ua/uploads/files/49/89cca09c8e16e5b812e81a8427036bfc.ppt

files/89cca09c8e16e5b812e81a8427036bfc.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/tvorci-matematiki.html

ТВОРЦІ МАТЕМАТИКИ

https://svitppt.com.ua/uploads/files/13/256c133f68be04c7eacdab9120fe1a1b.ppt

files/256c133f68be04c7eacdab9120fe1a1b.ppt

(1801-1862)

https://svitppt.com.ua/algebra/rozvyazuvannya-nerivnostey-drugogo-stepenya-z-odnieyu-zminnoyu-metod-i.html

Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Метод інтервалів

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/6e95ac3736e2bbd6d6c47c989dd96b68.pptx

files/6e95ac3736e2bbd6d6c47c989dd96b68.pptx

Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 4 Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Аналітичний спосіб Метод інтервалів Степінь рівняння з двома змінними. Розв’язування систем рівнянь з двома змінними Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв’язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними Пункт 5.3. Коли квадратний тричлен має два корені, то нерівність чи можна розв'язати способом, який називається методом інтервалів. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Метод інтервалів Пункт 5.3. Розв'язання Розкладемо на множники тричлен, що стоїть у лівій частині нерівності. Оскільки коренями тричлена є: х1=3, х2=4, то х2-7х+12=(х-3)(х-4). Отже, дана нерівність рівносильна нерівності (х-3)(х-4) < 0. Числа 3 і 4 розбивають числову пряму на три проміжки (інтервали): (-∞; 3), (3; 4), (4; ∞). Позначимо їх на координатній прямій (рис.). Визначимо знак добутку на кожному з них. 1). Проміжок (інтервал) (-∞; 3), тобто х < 3. За цієї умови обидва множники набувають від'ємних значень: x – 3 < 0 і x – 4 < 0. Отже, їх добуток є додатним числом: (x - 3) (x - 4) > 0. 2). Інтервал (3; 4), тобто 3 < x < 4. За цієї умови x – 3 < 0 і x – 4 > 0. Отже, (x - 3) (x - 4) < 0. 3). Інтервал (4; ∞), тобто x > 4. За цієї умови x – 3 > 0 і x – 4 > 0. Отже, (x - 3) (x - 4) > 0. Те, як змінюється знак даного добутку показуємо на рисунку. Таким чином, (x - 3) (x - 4) < 0 при 3 < x < 4, тобто на проміжку (3; 4). Суть методу інтервалів Приклад 1. Розв'язати нерівність: Х2-7х+12<0 х 3 4 + _ + Пункт 5.3. Для встановлення загального способу розв'язання аналогічних нерівностей розглянемо функцію f(x) = х2 - 7х + 12, або f(х)=(х–3)(x-4). Проаналізуємо зміну знака функції на визначених числових проміжках. На інтервалі (-∞; 3), тобто х < 3 функція набуває додатних значень. При переході через точку х=3 вона змінює свій знак на протилежний, тобто на інтервалі (3; 4) значення функції від'ємні. При переході через точку х=4 функція знову змінює свій знак - на інтервалі (4; ∞) її значення є додатними. Таким чином, при русі по координатній прямій зліва направо від одного інтервалу до іншого знак функції f(х) = (х – 3)(х - 4) почергово змінюється. Послідовність розв'язання Пункт 5.3. Нерівність (х – 3)(х - 4) < 0 можна розв'язати так: 1). Знаходимо нулі функції f(х) = (х – 3)(х – 4): х=3 і х=4. 2). Позначаємо отримані числа на координатній прямій і знаходимо відповідні інтервали. 3). Визначаємо знак функції, наприклад, на крайньому зліва інтервалі. Для цього можна взяти будь-яке значення х з цього інтервалу і, підставивши його у формулу, що задає функцію, знайти знак кожного множника, а потім і добутку. 4). Визначаємо знак функції на наступних інтервалах, розставивши їх у порядку чергування. 5). З усіх інтервалів вибираємо ті, на яких значення функції мають вказаний в умові знак. Алгоритм розв'язання Первинне закріпленням вивченого матеріалу Розв'язати нерівність графічним способом та методом інтервалів Розв'язання Нульових значень відповідна функція набуває в точках: х=2, х=-5, х=3, х=-8. Покажемо їх на координатній прямій і позначимо відповідні інтервали: З'ясуємо знак добутку на крайньому зліва інтервалі (-; -8): х<-8. (x - 2)(x+ 5)(3 - x)(x + 8) Якщо х= - 9: (-9 - 2)(-9+ 5)(3 – (-9))(-9 + 8) (-11)(-4)(+12)(-1) < 0 Знаки добутку на наступних інтервалах визначаємо в порядку їх чергування. Отже, (x - 2)(x+ 5)(3 - x)(x + 8) > 0, якщо х належить двом проміжкам: (-8; -5) і (2; 3). Відповідь. х(-8; -5)  (2; 3). Розв'язування нерівностей вищих степенів Приклад. Розв'язати нерівність (x - 2)(x+ 5)(3 - x)(x + 8) > 0 Запитання для самоперевірки Які квадратні нерівності можна розв'язати методом інтервалів? У чому суть методу інтервалів? Які ще нерівності, крім квадратних, можна розв'язати методом інтервалів?

https://svitppt.com.ua/algebra/cili-virazi1.html

Цілі вирази

https://svitppt.com.ua/uploads/files/27/42a4b54d25cd14f028d2be5eb5fd6c0c.ppt

files/42a4b54d25cd14f028d2be5eb5fd6c0c.ppt

17 · 2 + 8 (14,2 - 11,4) : 4 : (- ) -36 1) 2) 3) a : b , , , , , 5 · 3, 5(2+1) 6, 1000+25;

https://svitppt.com.ua/algebra/rozvyazuvannya-kvadratnih-rivnyan2.html

Розв'язування квадратних рівнянь

https://svitppt.com.ua/uploads/files/36/0b93ed898ac27f8fefbc33dd9cab1cd0.pptx

files/0b93ed898ac27f8fefbc33dd9cab1cd0.pptx

Розв'язування квадратних рівнянь ах2+ bх = 0 ах2+ bх + с =0 ах2+ с = 0 Квадратні рівняння найпростіших видів вавилонські математики вміли розв’язувати ще 4 тисячі років тому. Згодом розв’язували їх також у Китаї і Греції. Особливу увагу квадратним рівнянням приділив Мухаммед аль-Хорезмі (IXст.) Алгебраїчні задачі на складання рівнянь індійські вчені записували у віршованій формі й розглядали їх як окремий вид мистецтва. Формули коренів квадратного рівняння вивів Франсуа Вієт (1540-1603). Сучасні способи розв’язування квадратних рівнянь поширились завдяки працям Рене Декарта (1596-1650) та Ісаака Ньютона (1643-1727). Історичні відомості Бхаскар Мухаммед ал - Хорезмі Рене Декарт Ісаак Ньютон ПОВНІ КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ НЕПОВНІ КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ а ≠ 0, в ≠ 0, с ≠ 0 а ≠ 0, в = 0, с = 0 ах2 + вх = 0, ах2 + с = 0, ах2 = 0 -3х2+5х-2=0 х2-3х+2=0 16-8х+х2=0 2х2 +4х -1=0 6х2-5х=0 12х+6х2=0 -25+5х2=0 16х2-25=0 Усні вправи Серед даних рівнянь назвати ті, які є квадратними. Назвати коефіцієнти квадратного рівняння. 3х2–27 = 0, х3 + х2– 1= 0, 0,5х + 6 = 8, х2- 3х + 2 = 0, 20х - 5х2 = 0. а = 3, в = 0, с = - 27. а = 1, в = -3, с = 2. а = -5, в = 20, с = 0. Скільки коренів має квадратне рівняння: а) х2 – 64 = 0, б) у2 + 49 = 0, в) 2р2 - 7р = 0, г) а2 = 0, д) х2 + 3х + 4 = 0, е) 2х2 + 4х - 1 = 0 ? Усні вправи ? ? Скласти і розв’язати квадратне рівняння ? ? 1) 5x2 - 13x + 6 = 0 D = 49; x1= 2 , x2= 0,6. 2) 4x2 – x +1 = 0 D = -15 – рівняння дійсних коренів немає. Перевір себе Знайти пропущений вираз ? ? Це корисно знати Нестандартні прийоми розв'язання квадратних рівнянь. ax2 + b x + c = 0 Це корисно знати Нестандартні прийоми розв'язання квадратних рівнянь ax2 + b x + c = 0 Це корисно знати Нестандартні прийоми розв'язання квадратних рівнянь Розв'язати рівняння 1) 2х2- 9х - 5 = 0, 2) 3х2- 5х + 2 = 0, 3) 6х2+5х + 1 = 0, 4) х2- 3х + 2 = 0, 5) 5х2- 9х + 4 = 0, 6) 2х2+ 3х + 1 = 0. Перевір себе А тепер перевіримо на скільки добре ви навчилися розв'язувати рівняння Естафета рівнянь І варіант 1. х2 + 16 = 0. 2. х2 – 9 = 0. 3. х2 – 5х = 0. 4. (х + 3)(х – 4) = 0. 5. х2 – 4х + 4 = 0. 6. х2 - 6х + 5=0. 7. х2 - 3х – 10 = 0. 8. 2х2 - 3х + 3 = 0. 9. (х-5)2=3х+25. ІІ варіант 1. 25 + х2 = 0. 2. 4 - х2 = 0. 3. х2 - 3х = 0. 4. (х – 2)(х + 5) = 0. 5. х2+ 6х + 9 = 0. 6. х2 - 3х + 2 = 0. 7. х2 – х – 6 = 0. 8. 2х2 - 5х + 4=0. 9. (х+4)2=3х2 + 16. Перевір себе І варіант 1. Коренів не має. 2. х1=-3, х2=3. 3. х1=0, х2=5. 4. х1=-3, х2=4. 5. х=2. 6. х1=5, х2=1. 7. х1=5, х2=-2. 8.D<0, коренів не має. 9. х1=0, х2=13. ІІ варіант 1. Коренів не має. 2. х1=-2, х2=2. 3. х1=0, х2=3. 4. х1=-5, х2=2. 5. х=-3. 6. х1=1, х2=2. 7. х1=-2, х2=3. 8. D<0, коренів не має. 9. х1=0, х2=4. Дякую за співпрацю ! Істер О.С. Алгебра: Підручн. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл. – К.: Освіта, 2008 Бабенко С.П. Усі уроки алгебри. 8 клас. – Х.: «Основа», 2008 3) Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988 4) Глейзер Г. И., История математики в школе. – М.: просвещение, 1982 5) Окунев А. К. , Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972 6) www.textreferat.com 7) www.portfolio.ru

https://svitppt.com.ua/algebra/sferarivnyannya-sferi1.html

китай

https://svitppt.com.ua/uploads/files/64/ac53c855e7af64ae1658ce8a640c47a2.pptx

files/ac53c855e7af64ae1658ce8a640c47a2.pptx

Виконала Учениця 10-Б класу Наумова Олександра Презентація на тему: “Китай “ Китай Прапор Герб «Візитна картка Китаю» Площа: 9,6 млн. км. кв. Населення: 1 339 млн. осіб (1 місце в світі) Столиця: Пекін Державний лад: соціалістична республіка, унітарна держава Склад території: 22 провінції (без Тайваня), 5 автономних районів, 4 міста центрального підпорядкування : Пекін, Шанхай, Тяньцзінь, Чунцин. Великі міста: міста - муьтимільйонери – Шанхай(14,2 млн. чол.), Пекін (12,6 млн. чол.), Тяньцзінь (9,5 млн. чол.), Шеньян (5,1 млн. чол), більше 40 міст-мільйонерів. Грошова одиниця: юань ЕГП Китаю  1) Держава у Східній Азії, межує з 13 країнами; 2) Приморське положення Сх. Китаю (11 портів-велетнів); 3) Країни-сусіди – нейтральні позаблокові; Росія, КНДР – ядерні держави; 4) Аоминь (Макао) та Сянган (Гонконг) – спеціальні адміністративні одиниці Китаю; Тайвань (Китайська республіка) – квазі-держава з 1949 року 5) Не урегульовані питання з Індією (у Гімалаях) та В'єтнамом (про нафтоносний шельф Південно-Китайського моря); Клімат Помірний, субтропічний: сх. – мусонний, опади випадають літом (1500 мм) Зх. – континентальний, опадів випадає 100 мм пд. – субекваторіальний Рельєф Схід – прибережні рівнини (Велика Китайська), Лесове плато і низькі гори; Захід – центрально-азіатські плоскогір'я і гори (Тянь-Шань, Куньлунь, Тибет, Гімалаї) Територія Склад території: 22 провінції, 5 автономних районів, 4 міста центрального підпорядкування : Пекін, Шанхай, Тяньцзінь, Чунцин Ресурси: Лісові Сконцентровані переважно на північному-сході країни Водні Річки – Янцзи, Хуанхе, Амур. Підземні води – 90% східний Китай Земельні Сх. - підзолисті бурі лісові червоноземи і жовтоземи; Зх. - сіро-бурі пустель Населення Населення КНР складає понад 1,3 мільярди чоловік. Населення нерівномірно розподілено по території країни: на схід від умовної лінії від міста Хейхена до міста Тенчун на Юнані, на площі не набагато більше 1/3 території країни зосереджено близько 90% всього населення, а середня щільність населення тут перевищує 170 чол/км.кв. Відповідно до конституції Китаю в країні повинне здійснюватися планове дітородіння. Заборонено одружуватися студентам, одна родина повинна мати не більше однієї дитини, а на народження другої чи третьої дитини вже потрібно дозвіл спеціального комітету з планового дітородіння.  Складною проблемою є перенаселення сільської місцевості КНР.  Середня густота населення – 144,8 чол. на км², сх. -1000 чол. на км², зх. – 1 чол. на км² релігія – буддизм (світова), конфуціанство, даосизм (національна); Рівень урбанізації – 52,6%; >1600 міст, з них 123 міста-мільйонера, у т.ч. 17 міст-мультимільйонерів (Чунцін - 30,2 млн осіб; Шанхай – 24,2 млн осіб; Тяньцзінь- 14,4 млн осіб…) У Китаї нарахували близько 100 видів тварин, які не трапляються більше ніде. Найвідоміші з них - це Ірбіс і Панда. Якщо в якому-небудь звіринці в світі у панди народжується дитинча, власники зоопарку зобов’язані переслати його в Китай Китай з кожним роком втрачає понад 1 000 км² корисної території через розширення пустель, якими і так зайнята майже 1/3 країни. Тому з 1970 р. працює проект «Зелена китайська стіна», зміст полягає в тому, щоб вибудувати на шляху пустелі масові загородження з дерев і чагарників. Металургія Сталь (І) – 49,2 % світу 1,5 тис. підприємств на власній сировині + імпорт якісної руди із Австралії, Бразилії, Індії; модернізація великих державних комбінатів; низький технічний рівень малих напівкустарних заводів Кольорові метали: І – алюміній, цинк, свинець, олово, сурма, вольфрам, вісмут; 2 - магній, молібден, ванадій; 3 - титан, золото, срібло; 4 – мідь, літій Металургія Машинобудування Багатопрофільна структура універсальність Автомобілі (І - ≈ 30% світу): ½ - місцеві бренди; екологічно чисті (електромобілі, велосипеди, на альтернативному паливі) та економічні автомобілі; ½ - спільні підприємства з Німеччиною, Японією, США, Республікою Корея Морські судна (І -38% світу): балкери, дедвейти, пасажирські судна Електроніка: майже всі світові бренди електроніки виготовляються або розробляються у Китаї Літаки: складання “Аеробус” Енергетичне, металургійне, гірничодобувне обладнання, верстати Господарство Сільське господарство. Китай - велика сільськогосподарська країна. Тут збирають понад 1/3 світового врожаю рису та просяних культур, зосереджено 1/10 світового поголів'я великої рогатої худоби і 2/5 свиней. Китай - один з найбільших у світі виробників кукурудзи, бавовни, сої, чаю, тютюну, м'яса птиці, коконів шовкопряда. Для галузевої структури сільського господарства характерне значне переважання рослинництва (в основному продовольчих культур), частка якого становить понад 70% вартості валової продукції галузі. В самому ж рослинництві спеціалізація того чи іншого району визначається співвідношенням трьох груп культур: зернових, технічних і овочевих. Зернове господарство дає основну частку продовольства країни. Традиційною культурою є рис, який займає до 1/4 посівних площ. Щороку в Китаї збирають близько 180 млн. тонн цієї цінної культури. На півдні та в районі Сичуань рис - основна зернова культура, в басейні р. Янцзи, крім рису, вирощують пшеницю та ячмінь, на півночі рис поступається пшениці, гаоляну (просяна культура) й кукурудзі. В південних районах збирають по два, навіть по три врожаї рису на рік. Технічними культурами засіяно близько 1/6 посівної площі. З-поміж волокнистих культур основними є бавовник (1/4 світового виробництва) і джут. Важлива цукроносна культура - цукрова тростина. Головними олійними культурами є соя (близько 20 млн тонн на рік) й арахіс. Китай посідає друге місце в світі (після Індії) за виробництвом чаю (580 тис. тонн на рік). Овочівництво і бульбові культури (особливо батат і картопля) дають істотну частку продовольства. Вирощують більш як сто видів різних овочів, зокрема численні сорти капусти, редьки й ріпи, моркви, цибулі. Тваринництво має різні напрями розвитку в східних і західних районах країни. У східних районах частка тваринництва незначна в структурі виробництва, важливе значення мають свинарство і птахівництво. Західна і почасти північно-східна частини країни - зона екстенсивного тваринництва, яке використовує великі пасовища. Тут розводять овець, кіз, коней, верблюдів, а у високогірних районах яків. Промисловість Зовнішня торгівля Зовнішньоекономічні зв'язки. КНР з початку 80-х років активно розвиває політику "відкритих дверей", яка передбачає активне залучення іноземного капіталу, науково-технічне співробітництво, створення "особливих економічних зон", в яких заохочується діяльність зарубіжних та спільних підприємств. Частка КНР у міжнародній торгівлі залишається порівняно скромною. Переважає вивіз продукції гірничодобувної, легкої промисловості і сільського господарства в обмін на продукцію важкої промисловості. Китай вивозить вугілля, нафту, кольорові метали, рис, бавовну, чай, тканини, одяг тощо. Китайські товари легкої промисловості користуються попитом на світовому ринку.

https://svitppt.com.ua/algebra/rozvyazuvannya-vprav-na-vsi-dii-zi-zvichaynimi-drobami.html

Розв’язування вправ на всі дії зі звичайними дробами

https://svitppt.com.ua/uploads/files/2/87945bbb70ecd420e49c9fb2582fbc3c.pptx

files/87945bbb70ecd420e49c9fb2582fbc3c.pptx

Розв’язування вправ на всі дії зі звичайними дробами Урок-подорож у 6-А класі Девіз уроку Розум полягає не лише в знаннях, але й у вмінні застосовувати ці знання. Арістотель Маршрут Дніпро, Чорне море, Босфорська протока, Середземне море, Гібралтарська протока, Атлантичний океан, Північна Америка Маршрут Старт Козаків, немов святих, треба шанувати. Бо не бояться кров свою в битвах проливати. Тим з небес подай свою, Господи, корону, Хто для нашої землі ладить оборону. Климентій Зинов'єв Перевірка домашнього завдання Екіперовка чайки Дніпро Маршрут руху Чорне море Маршрут руху босфор Поповнення запасів їжі та питної води Сторінка 103 Тестові завдання № 1-6 1) б; 2) в; 3) б; 4) г; 5) б; 6) а. Поповнення запасів їжі та питної води Пірати гібралтар Пропливаємо протоку Завершення подорожі Домашнє завдання Повторити § 3 п. 11-18 Виконати письмово № 555, 556.

https://svitppt.com.ua/algebra/kvadratne-rivnyannya-nepovni-kvadratni-rivnyannya.html

Квадратне рівняння. Неповні квадратні рівняння

https://svitppt.com.ua/uploads/files/3/769c4f119143e7ae2ab2d46d36b1c7b4.pptx

files/769c4f119143e7ae2ab2d46d36b1c7b4.pptx

Квадратне рівняння. Неповні квадратні рівняння. «Що вмієте, того не забувайте, а чого не вмієте, тому навчайтесь» Карта уроку 5.Історична довідка 3.Нові знання Фізкультхвилинка 4. Вчимося розв’язувати 2. Тренуємо пам'ять 1. Скарбничка знань 6.Підсумки. Карта уроку ІСТОРИЧНА ДОВІДКА Вієт  Франсуа   (1540—1603)  Першим почав позначати буквами коефіцієнти рівнянь. Це дало можливість записувати властивості рівнянь і їх коренів загальними формулами. НОВІ ЗНАННЯ Карта уроку 1.Назвати коефіцієнти квадратних рівнянь: 5х2 – 9х + 4 = 0 х2 + 3х – 10 = 0 - х2 – 8х + 1 = 0 6 – х2 + 4х = 0 2.Назвіть коефіцієнти квадратних рівнянь : -4Х2 + 5Х = 0 6Х2 – 30 = 0 9Х2 = 0 Х2 + Х = 0 Фізкультхвилинка Карта уроку ВЧИМОСЯ РОЗВ’ЯЗУВАТИ Карта уроку Розв'язати неповне квадратне рівняння: 9х2 = 0 2х2 = 32 х2 + 5х = 0 х2 + 16 =0 1 2 3 4 5 ТРЕНУЄМО ПАМ’ЯТЬ Карта уроку 7х = -14; - х = 4 2х – 1 = 3 х – 3 = 2 Розв’яжіть рівняння: 0 х = 0 0 х = - 2 0,7 х = - 63 8х = - 8 + 12 х СКАРБНИЧКА ЗНАНЬ ах = в Означення лінійного рівняння Що називається рівнянням? Що називається коренем рівняння? Що означає розв’язати рівняння? Які перетворення виконуються під час розв’язання рівняння? 6. Скільки коренів має лінійне рівняння? 7. Як називаються числа а і в? Карта уроку Підсумки Карта уроку Як ви оцінюєте свою роботу на уроці ? Повітряний змій Із паперу потрібно вирізати квадрат площею 484см2 . Знайдіть сторону квадрату. 2. Мілка Корова пасеться на ділянці, що має форму круга площею 314м2 . Знайдіть довжину мотузки, якою треба прив’язати корову. До телеграм 3.Шкільний автобус Шкільний автобус здійснює переміщення за законом S = 20t – 0,8t2 . Через який час діти прибудуть до школи? До телеграм 4.Де влаштувати полустанок Рух двох тіл задані рівнянням: х1 = t + 0,8t2 ; х2 = 9t – 1,2t2. Визначити час та місце зустрічі. До телеграм 5.Рукостискання Учні біля школи потиснули один одному руки. Хтось підрахував, що всіх рукостискань було 6. Скільки учнів стояло біля школи? До телеграм

https://svitppt.com.ua/algebra/totozhni-peretvorennya-viraziv-scho-mistyat-kvadratni-koreni0.html

Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені

https://svitppt.com.ua/uploads/files/27/c2478b5494df6495a49223bea3fbdc6e.ppt

files/c2478b5494df6495a49223bea3fbdc6e.ppt

3 60   2 3

https://svitppt.com.ua/algebra/statistika0.html

Статистика

https://svitppt.com.ua/uploads/files/25/7d01cfe7a8d632897c69e8f856259c1d.pptx

files/7d01cfe7a8d632897c69e8f856259c1d.pptx

Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 5 Елементи прикладної математики Математичне моделювання Відсоткові розрахунки. Поняття про теорію імовірностей. Основні поняття теорії імовірностей. Ймовірність випадкової події Початкові відомості про математичну статистику. Статистичні дані. Способи подання даних Середнє значення. Розв'язування вправ Пункт 9.1 Що вивчає математична статистика. Математичну статистику як один з розділів прикладної математики започаткував швейцарський математик Я. Бернуллі (1654-1705). Значних результатів у цій царині досяг також відомий український математик В.Я. Буняковський (1804-1889). Він народився в містечку Бар на Вінниччині. Після навчання у Парижі працював професором у Петербурзі. Він — автор понад 100 наукових праць, написаних в основному французькою мовою. Був почесним членом усіх університетів Російської імперії, віце-президентом Академії наук, головним експертом уряду з питань статистики і страхування Початкові відомості про математичну статистику. Я. Бернуллі Віктор Буняковський Пункт 9.1 Що вивчає математична статистика. Математична статистика – це розділ математики,присвячений математичним методам систематизації, збору, обробки статистичних даних та їх використання для наукових і практичних висновків. Дослідження методами математичної статистики застосовуються для прийняття рішень, прогнозування розвитку певних галузей господарства, плануванні й організації виробництва, контролі якості продукції тощо. Початкові відомості про математичну статистику. Статистичні дослідження та їх етапи. Під статистичними даними розуміють сукупність чисел, які дають кількісну характеристику ознак певних об'єктів та явищ, що нас цікавлять. Статистичні дані отримують в результаті дослідів, спостережень. Першим кроком статистичного дослідження є спостереження, збирання даних. Такі спостереження можуть бути суцільними несуцільними. Початкові відомості про математичну статистику. Спостереження є суцільним, якщо обстежують ознаки всіх одиниць сукупності. Прикладом може бути медичне обстеження населення у зв'язку з епідемією. Спостереження є несуцільним, якщо обстежуються ознаки окремих одиниць сукупності. Найбільш поширеним видом несуцільного спостереження є вибіркове спостереження. Його застосовують тоді, коли в сукупність входить дуже велика кількість об'єктів або спостереження пов'язане із руйнуванням об'єктів, або ж воно вимагає великих затрат. У таких випадках зі всієї сукупності вибирають обмежену кількість об'єктів і вивчають їх. Статистичні дослідження та їх етапи Статистичні дослідження, вибіркові спостереження на ринку нерухомості Відібрану для спостереження сукупність об'єктів називають вибірковою сукупністю, або просто вибіркою. Сукупність усіх об'єктів, над якими проводять спостереження (дослідження), називають генеральною сукупністю. Кількість об'єктів сукупності (вибіркової або генеральної) називають об'ємом сукупності, відповідно, кількість об'єктів вибірки називають об'ємом вибірки. Наприклад, якщо із 800 деталей відібрано для дослідження 80 деталей, то об'єм генеральної сукупності дорівнює 800, а об'єм вибірки n = 80. Статистичні дослідження та їх етапи Результатом першого етапу статистичного дослідження є неупорядкований набір чисел, записаних дослідником у порядку їх надходження. Наприклад, економіст, аналізуючи тарифні розряди працівників одного з цехів заводу, вибрав документи 20 робітників і виписав з них послідовність чисел що вказують на тарифні розряди (кваліфікацію робітників): 4, 4, 3, 2, 5, 2, 3, 5, 4, 3, 3, 2, 5, 4, 5, 4, 6, 3, 4, 5. Ці статистичні дані являють собою вибірку, яка піддається обробці. На другому етапі статистичного дослідження, який називають зведенням, упорядковують і узагальнюють статистичні дані, групують їх і на цій основі дають узагальнену характеристику сукупності. У даному прикладі, розмістивши статистичні дані у порядку зростання розряду кваліфікації робітників, отримаємо статистичний ряд із 20 чисел: 2, 2, 2, З, З, З, З, З, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6. (1) Ці зведені дані про кваліфікацію робітників можна подати у вигляді статистичної таблиці розподілу вибірки. Статистичні дослідження та їх етапи Статистичні дослідження та їх етапи Розглянутий статистичний ряд (1) розбито на 5 груп. Числа x1 = 2, х2 = 3, х3 = 4, х4 = 5, х5 = 6 є значеннями ознаки кожної групи робітників. Їх називають варіантами. А послідовність варіант: 2, 3, 4, 5, 6 — варіаційним рядом. Числа, які показують, скільки разів повторювалося кожне значення ознаки сукупності, називають частотами. Так, частота варіанти x1 дорівнює 3, варіанти х2 - 5, варіанти х3 - 6, варіанти х4 - 5, варіанти х5 – 1. Відношення частоти до об'єму вибірки називають відносною частотою. Зокрема, у даному прикладі відносна частота робітників 2-го тарифного розряду становить - 3-го тарифного розряду становить – Первинне закріплення вивченого матеріалу Первинне закріплення вивченого матеріалу Первинне закріплення вивченого матеріалу 401°. У таблиці подано результати квартального звіту торговельної організації. Знайдіть дохід кожного товару у відсотках. Який товар дав найбільший дохід у відсотках? Первинне закріплення вивченого матеріалу 402. Для визначення попиту на жіноче взуття в одному з населених пунктів провели опитування, результати якого подані в таблиці: Заповніть таблицю. Визначте вид спостереження і об'єм вибіркової сукупності. Запитання для самоперевірки Що вивчає математична статистика? В якому випадку здійснюють вибіркові спостереження? Що таке вибірка і генеральна сукупність? Що таке об'єм сукупності та об'єм вибірки? Як упорядковують і узагальнюють статистичні дані? Поясніть на прикладі, що таке частота і відносна частота.

https://svitppt.com.ua/algebra/rozvyazuvannya-vprav-na-vsi-dii-iz-zvichaynimi-drobami.html

Розв’язування вправ на всі дії із звичайними дробами

https://svitppt.com.ua/uploads/files/4/a508da450b49e3e14d447009237f71ca.pptx

files/a508da450b49e3e14d447009237f71ca.pptx

Розв’язування вправ на всі дії із звичайними дробами Абрам О.П. Навчальна мета: вдосконалити вміння та навички учнів застосовувати правила та властивості додавання, множення, віднімання та ділення при розв’язуванні вправ із звичайними дробами.Розвиваюча мета: розвивати в учнів логічне мислення, увагу, культуру мовлення та математичну культуру, сприяти формуванню та розвитку інтелектуальних і творчих здібностей учнів, прищеплювати інтерес до математики.Виховна мета: продовжити формувати в учнів науковий світогляд і раціональне математичне мислення, виховувати працьовитість, позитивне ставлення до навчання і відповідальність за свої досягнення, наполегливість в подоланні труднощів. Абрам О.П. Розум полягає не лише в знаннях, але й у вмінні застосовувати ці знання. Арістотель  Абрам О.П. Перевірка домашнього завдання Абрам О.П. Гра «Детективи» Абрам О.П. Дорогі діти! Допоможіть, будь-ласка, розкрити злочин!У деякому місті М пограбували банк. Та, на щастя, був очевидець пограбування. Він не тільки запам’ятав вбрання злочинця, але й оцінив його вік, прізвисько, яке, очевидно, належало підозрілому чоловіку. Але свідок був надзвичайно веселою та кмітливою людиною, тому всі відомості він зашифрував. Абрам О.П. Дайте відповіді на запитання.   Як додати (відняти) дроби з рівними знаменниками? Як додати дроби з різними знаменниками ? Як відняти дроби з різними знаменниками ? Що називають добутком двох звичайних дробів ? Як помножити два мішаних числа ? Як знайти дріб від числа ? Які числа називаються взаємно оберненими ? Як поділити звичайний дріб на звичайний дріб? Як знайти число за значенням його дробу ? Абрам О.П. Визначення кольору капелюха Чи правильні рівності? так 1 ні так 0 1 Завдання 1 Абрам О.П. Визначення кольору костюма Знайдіть значення виразу: 1 0 1 Завдання 2 Абрам О.П. Визначення кольору черевиків Виберіть правильну відповідь: ні так ні 0 1 0 Завдання 3 Абрам О.П. Визначення віку злочинця Завдання 4 Розв’яжіть рівняння: 9+ 19+ 2+ 21= 51 Абрам О.П. 9 19 Визначення ім’я злочинця Завдання 5 Абрам О.П. 1 Завдання 5 Визначення ім’я злочинця 21 Абрам О.П. Абрам О.П. Вік – 51 Ім’я - Жора Абрам О.П. Розшифровка: 000 – білий; 001 – коричневий; 010 – жовтий; 011 – оранжевий; 100 – чорний; 101 – зелений; 110 – червоний; 111 – синій. Абрам О.П. Домашнє завдання Повторити § 14 Виконати письмово № 477, 533. Абрам О.П.

https://svitppt.com.ua/algebra/skalyarniy-dobutok-vektoriv.html

Скалярний добуток векторів

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/2e19fa68ce3486200df901243912225a.pptx

files/2e19fa68ce3486200df901243912225a.pptx

Скалярнийдобуток векторів Косюга Л.І. 2012 КУТ МІЖ ВЕКТОРАМИ кут між векторами Кут між векторами і дорівнює b a a b  Знайдіть кути між векторами: b c 300 300 1200 900 1800 00 Скалярним добутком двох векторів називається добуток їх модулів на косинус кута між ними. Т 16.1 Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні. Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і тільки тоді, коли кут між векторами гострий. Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і тільки тоді, коли кут між векторами тупий. ОКРЕМІ ВИПАДКИ. ОКРЕМІ ВИПАДКИ. 2 Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля: 2 2 ЗАДАЧА Знайдіть скалярний добуток векторів і , якщо: a b (2;-1) (1;-3) (1;-4) (8;2) (-5;1) (2;7)

https://svitppt.com.ua/algebra/interaktivna-tehnologiya-mikrofon.html

Інтерактивна технологія «мікрофон»

https://svitppt.com.ua/uploads/files/3/f0743d551c44c0603dfa83b620ed300f.pptx

files/f0743d551c44c0603dfa83b620ed300f.pptx

Девіз : Математику не можна вивчати, спостерігаючи як це роблять інші А. Нівен Лінгвістична гра “Закінчити речення” Інтерактивна технологія«мікрофон» х у 0 -2 2 -2 І. Знайти: область визначення; область значень; проміжки, на яких функція набуває додатніх значень; проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень; найменше значення функції; нулі функції. Дайте відповідь на запитання На малюнку зображено графік функції Використовуючи графік, розв’яжіть нерівність: а) б) Х Є (-∞; -2)  (3;+ ∞) Х Є [-2;3] ; ; Тема: «Розв’язування нерівностей методом інтервалів» Коли квадратний тричлен має два корені, то нерівності ax2+bx+c>0 ax2+bx+c<0 ax2+bx+c≥0 ax2+bx+c≤0 можна розв'язати способом, який називається методом інтервалів. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Метод інтервалів Алгоритм розв’язування квадратичних нерівностей методом інтервалів 1. Знайти корені квадратного тричлена, розв’язавши рівняння ax2+bx+c=0. 2. Розкласти квадратний тричлен на множники ax2+bx+c=а(х-х1)(х-х2), де х1, х2 - корені . Розглянемо функцію Y = а(х-х1)(х-х2). Знайти D(y). Нанести нулі на область визначення. Визначити знаки функції в кожному інтервалі, на які розбивається область визначення нулями функції. Записати відповідь. Первинне закріпленням вивченого матеріалу Розв'язати нерівність графічним способом та методом інтервалів Цей підхід можна застосувати для розв’язання нерівностей з будь-якою кількістю множників Алгоритм розв’язування нерівностей методом інтервалів (x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-xn)<0 Знайдемо область визначення функції f(x)= (x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-xn) 3. Знайти нулі функції(f(x)= 0) 4. Нанести нулі на область визначення. 5. Визначити знаки функції в кожному інтервалі, на які розбивається область визначення нулями функції. 6. Записати відповідь. Розв'язання Нульових значень відповідна функція набуває в точках: х=2, х=-5, х=3, х=-8. Покажемо їх на координатній прямій і позначимо відповідні інтервали: З'ясуємо знак добутку на крайньому зліва інтервалі (-; -8): х<-8. (x - 2)(x+ 5)(3 - x)(x + 8) Якщо х= - 9: (-9 - 2)(-9+ 5)(3 – (-9))(-9 + 8) (-11)(-4)(+12)(-1) < 0 Знаки добутку на наступних інтервалах визначаємо в порядку їх чергування. Отже, (x - 2)(x+ 5)(3 - x)(x + 8) > 0, якщо х належить двом проміжкам: (-8; -5) і (2; 3). Відповідь. х(-8; -5)  (2; 3). Розв'язування нерівностей вищих степенів Приклад. Розв'язати нерівність (x - 2)(x+ 5)(3 - x)(x + 8) > 0 (х+4)(х-2)(х-3)<0 + - - + 2 3 -4 Відповідь: (-∞;-4) (2;3) f(х)=(х+4)(х-2)(х-3) х=-4 х=2 х=3 Розв’язати нерівність: Розв’язати нерівність: (10х+3)(17-х)(х-5)≥0 Розв’язати <0 При яких значеннях Х має зміст вираз? Гра «Аукціон» Розуму не позичати Будь найкращим, набувай багатства, але залишайся скромним. Поспішайте творити добро Домашнє завдання П.5.3 № 283(а, д,е) №285(а) Запитання для самоперевірки Які квадратні нерівності можна розв'язати методом інтервалів? У чому суть методу інтервалів? Які ще нерівності, крім квадратних, можна розв'язати методом інтервалів? 10

https://svitppt.com.ua/algebra/regresiya.html

Регресія

https://svitppt.com.ua/uploads/files/16/e034ef58038ae0c91e7c2d965c241beb.pptx

files/e034ef58038ae0c91e7c2d965c241beb.pptx

Регресія. Інтерполяція. Екстраполяція. План лекції Вступ Регресія Лінійна квадратична Інтерполяція Загальні відомості Перша формула Ньютона Друга формула Ньютона Екстраполяція Регресія Задано сукупність показників y, що залежать від факторів х, то постає завдання знайти таку модель, яка б найкраще описувала існуючу залежність. Одним з методів є регресійний аналіз. Регресія передбачає побудову такої Кривої, при якій значення показників, що лежать на ній будуть максимально наближені до фактичних, і продовжуючи цю криву одержуємо значення прогнозу. Процес продовження прямої називається екстраполяцією. Відповідно до цього постає задача визначити цю пряму, тобто рівняння цієї прямої. В загальному вигляді рівняння прямої виглядає. Види Регресії   Лінійна Регресія Нехай задано статистичні дані у вигляді таблиці і відповідності кожному значенню x значення y (y = f(x)) Припустимо, що невідома функція є лінійною, тоді y = ax+b ,де a і b невідомі параметри. Лінійна Регресія (2)   Лінійна регресія (приклад) Нехай задано статистичні дані у вигляді таблиці і відповідності кожному значенню x значення y (y = ax + b) Лінійна регресія (приклад)   Квадратична регресія Припустимо, що невідома функція є квадратичною, тоді y = a+bx+cx^2 ,де a, b і c невідомі параметри.     Квадратична регресія (приклад) Інтерполяція Припустимо відомо значення деякої функції f в n+1 різних точках x0,x1,…,xn які позначимо наступним способом fi = f(xi) i=0,1,..,n Такі дані зазвичай отримують з експериментів чи за допомогою складних обчислень. Зазвичай виникає задача наближеного встановлення функції f в будь-якій точці x. Наближене встановлення функції f називається інтерполяцією функції. Часто для розв'язування цієї задачі будують алгебраїчний многочлен Ln(x) степені n, який в точках xi приймає задані значення fi = Ln(xi). Ln(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an такий многочлен називається інтерполяційними многчленом. Точки xi i=0,1,..,n називаються вузлами інтерполяції. Інтерполяція(2)   Інтерполяційний многочлен Ньютона для рівновіддалених вузлів Часто інтерполяція ведеться для функції, заданих таблицями з рівно віддаленими значеннями аргументів. Для таких таблиць побудова інтерполяційних формул спрощується. скінченні різниці   Перша Інтерполяційна формула Ньютона Нехай будемо шукати інтерполяційний многочлен у вигляді Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+...+an(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1) Найдем значення коефіцієнтів a0, a1, a2, ...,an: Припустивши, що x=x0, знаходимо a0=P(x0)=y0; Далі подставляючи значення x1, x2, ...,xn отримуємо: a1=Δy0/h, де h= xi+1-xi a2=Δ2y0/2!h2 a3=Δ3y0/3!h3 .................... an=Δny0/n!hn В кінцевому результаті отримуємо многочлен:Pn(x)=y0+ Δy0/h*(x-x0)+ Δ2y0/2!h2*(x-x0)(x-x1)+...+ Δny0/n!hn*(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1) (1) Практично формула (1) застосовується в іншому вигляді: Візьмемо: t=(x-x0)/h, тоді x=x0+th и формула (1) перетворюється на: Pn(x)=y0+tΔy0+t(t-1)/2! Δ2y0+...+t(t-1)...(t-n+1)/n!Δny0 (2) Формула (2) називається інтерполяційной формулой Ньютона. http://numericalmethods.eng.usf.edu 18 Приклад Швидкість підйому ракети задана, як функція від часу в таблиці 1. Знайти швидкість підйому ракети в момент часу t=16 секунд використовуючи метод Ньютона квадратичної інтерполяції. Таблиця 1. Швидкість, як функція від часу Figure 2: залежність швидкості від часу Квадратична інтерполяція(2) Квадратична інтерполяція(3) Квадратична інтерполяція(4) Перепишемо Друга інтерполяційна формула Ньютона  

https://svitppt.com.ua/algebra/stepeneva-funkciya-z-cilim-pokaznikom1.html

Степенева функція з цілим показником

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/99931398a5d7b2a61e2761c000639911.pptx

files/99931398a5d7b2a61e2761c000639911.pptx

Алгебра і початки аналізу. 10 клас(за підручником Мерзляк А. Г.) Тема уроку: Степенева функція з цілим показником Степенева функція з цілим показником Функцію, яку можна задати формулою y = xn, де n ∈ Z, називають степеневою функцією з цілим показником. Властивості цієї функції для натурального показника було розглянуто на попередньому уроці. Тепер розглянемо випадки, коли показник n є цілим від’ємним числом або нулем (y = x0, y = x-1, y = x-2). Областю визначення функції y = x0=1 є множина (–∞; 0) c (0; +∞), областю значень — одноелементна множина {1}. Графік цієї функції зображено на рисунку 73. y = x–n, де n ∈ N. З окремим випадком цієї функції, коли n = 1, тобто з функцією ми знайомі з курсу алгебри 8 класу. 1). D(y)=(-;0)(0;) 2). E(y)=(-;0)(0;) 3). Графік функції – гіпербола, розміщена в І та ІІІ координатних чвертях 4). Графік функції не перетинає осі координат 5). Функція немає мінімального та максимального значення 6). Функція спадна на D(y) 7). При х>0, y>o, при х<0 y<0 Запишемо функцію y = x–n у вигляді Областю визначення функції y = x–n, n ∈ N, є множина (–∞; 0)  (0; +∞). Очевидно, що ця функція нулів не має. Подальші дослідження властивостей функції y = x–n, де n ∈ N, проведемо для двох випадків: n — парне натуральне число n — непарне натуральне число. n = 2k, k ∈ N Маємо: Оскільки вираз набуває тільки додатних значень, то до області значень розглядуваної функції не входять від’ємні числа, а також число 0. Для будь-якого a > 0 існує таке значення аргументу x, що x–2k = a. Властивості Областю значень функції y = x–n, де n — парне натуральне число, є множина (0; +∞). Очевидно, що проміжки (–∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції y = x–n, де n — парне натуральне число. Функція y = x–n, де n — парне натуральне число, є парною. Функція y = x–n, де n — парне натуральне число, зростає на проміжку (–∞; 0). Функція y = x–n, де n — парне натуральне число, спадає на проміжку (0; +∞). n = 2k – 1, k ∈ N Для будь-якого a ≠ 0 існує таке значення аргументу x, що x–(2k – 1) = a. Областю значень функції y = x–n, де n — непарне натуральне число, є множина (–∞; 0)  (0; +∞). Проміжки (–∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції y = x–n, де n — непарне натуральне число. Функція y = x–n, де n — непарне натуральне число, є непарною. Функція y = x–n, де n — непарне натуральне число, спадає на кожному з проміжків (–∞; 0) і (0; +∞). Висновки Первинне закріплення вивченого матеріалу Яку функцію називають степеневою функцією з цілим показником? Яка область визначення функції y = x0? Яка область значень функції y = x0? Яка фігура є графіком функції y = x0? Яка область визначення степеневої функції з цілим від’ємним показником? Сформулюйте властивості функції y = x–n, де n — парне натуральне число. Як виглядає графік функції y = x–n, де n — парне натуральне число? Сформулюйте властивості функції y = x–n, де n — непарне натуральне число. Як виглядає графік функції y = x–n, де n — непарне натуральне число? Тренувальні вправи Тренувальні вправи Тренувальні вправи Домашнє завдання Читати § 10 Готувати відповіді на контрольні запитання 1-9 ст. 95 Виконати вправи №№ 273, 275, 277, 279, 284, 286

https://svitppt.com.ua/algebra/rozvyazuvannya-nerivnostey-drugogo-stepenya-z-odnieyu-zminnoyu-grafich.html

Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/9891f128059905ebf8fb2659cb7a5f04.pptx

files/9891f128059905ebf8fb2659cb7a5f04.pptx

Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 4 Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Аналітичний спосіб Метод інтервалів Степінь рівняння з двома змінними. Розв’язування систем рівнянь з двома змінними Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв’язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними Пункт 5.1. Пригадайте: Що таке квадратний тричлен? На проміжку (а; b) значення функції є додатними. Як розміщені точки графіка цієї функції на даному проміжку відносно осі Ох? Як за графіком функції встановити числові проміжки, де вона набуває від'ємних значень? Де розміщені точки графіка функції, в яких її значення дорівнюють нулю? Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Пункт 5.1. Розв'язування таких нерівностей можна звести до з'ясування того, при яких значеннях змінної х відповідна квадратична функція набуває додатного (невід'ємного) або від'ємного (недодатного) значення. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Нерівність, ліва частина якої є квадратний тричлен, а права — нуль, називають нерівністю другого степеня з однією змінною, або квадратною нерівністю. Наприклад: 2х2 - 5х - 6 > 0, Зх2 - 8 < 0, х2 + 7х≥ 0, 7 – 2х – 5х2 > 0. Пункт 5.1. Щоб розв'язати нерівність другого степеня, досить знати спрямування гілок відповідної параболи і наявність у неї спільних точок з віссю Ох, тобто точок, у яких значення даної функції дорівнюють нулю (нулі функції). Наприклад, гілки параболи у = —х2 + 5х - 6 спрямовані вниз. Для знаходження нулів цієї функції розв'яжемо рівняння -х2 + 5х - 6 = 0. Маємо: х1 = 2, х2 = 3. Отже, графік функції у = —х2 + 5х - 6 розміщений відносно осі Ох так, як зображено на рисунку. Додатні значення функції — це значення ординат тих точок її графіка, що лежать над віссю Ох (відповідну частину графіка виділено на рисунку жирною лінією). Абсциси усіх цих точок належать проміжку (2; 3). Отже, розв'язком нерівності —х2 + 5х — 6 > 0 є проміжок (2; 3): х(2; 3). Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Пункт 5.1. Очевидно, що для розв'язання нерівності -х2 + 5х - 6 < 0 слід знайти абсциси тих точок графіка функції у = —х2 + 5х - 6, які розміщені під віссю 0х. З рис. бачимо, що графік розміщений під віссю 0х ліворуч від точки х = 2 — на координатній прямій це відповідає проміжку (-∞; 2) — і праворуч від точки х = З, тобто на числовому проміжку (3; ∞). Отже, розв'язком нерівності - х2 + 5х — 6 < 0 є об'єднання двох числових проміжків (—∞; 2) і (3; ∞): х(—∞; 2) (3; ∞ ). Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Пункт 5.1. Якщо схематичне зображення розміщення графіка функції у = ах2 + bх + с відносно осі 0x має вигляд, як на рис., то очевидно, що при всіх дійсних значеннях х ця функція набуває додатних значень. У такому випадку розв'язком нерівності ах2 + bх + с > 0 буде множина всіх дійсних чисел, тобто числовий проміжок (-∞; ∞), а нерівність ах2 + bх + с < 0 не матиме розв'язків. Приклади розв’язування квадратних нерівностей Графічний спосіб. Пункт 5.1. Розв'язання. Для спрощення розв'язання замінимо дану нерівність рівносильною нерівністю, помноживши обидві її частини на -1. Маємо: Зх2 + 5х + 2 > 0. Знайдемо корені рівняння Зх2 + 5х + 2 = 0. D = 25-24= 1; Побудуємо схематичне зображення розміщення графіка функції у = Зх2 + 5х + 2 відносно осі Ох. Знайдемо значення х, при яких гілки параболи розміщені над віссю Ох (Зx2 + 5х + 2 > 0). З рисунка видно, що це ті значення, що знаходяться на координатній прямій ліворуч від точки х = —1 (числовий проміжок (-∞; —1)), а також праворуч від точки х=-2/3 (числовий проміжок (-2/3; ∞ ). Відповідь, х є (-∞; -1) U (-2/3;∞) Приклади розв’язування квадратних нерівностей Графічний спосіб. Приклад 1. Розв'язати нерівність: — Зх2 — 5х — 2 < 0. Пункт 5.1. Розв'язання. Знайдемо корені тричлена 4х2 + 4х + 1, тобто нулі функції у = 4х2 + 4х+ 1. 4х2 + 4х + 1 = 0; (2x+ 1)2 = 0; Побудуємо схематичне зображення графіка цієї функції відносно осі 0х. Бачимо, що над віссю 0x (4x2 + 4х + 1 > 0) розміщені всі точки параболи, крім однієї —з абсцисою . Отже, розв'язком даної нерівності є всі дійсні числа, крім . Відповідь. Приклади розв’язування квадратних нерівностей Графічний спосіб. Приклад 2. Розв'язати нерівність: 4х2 + 4х + 1 > 0. Пункт 5.1. Розв'язання. З рис. бачимо, що дану нерівність задовольняє лише одне значення Тоді 4х2 + 4х + 1 = 0. При всіх інших значеннях х значення тричлена додатні, тобто 4х2 + 4х + 1 > 0. Відповідь. х = Розглянутий спосіб розв'язування квадратних нерівностей називають графічним способом. Приклади розв’язування квадратних нерівностей Графічний спосіб. Приклад 3. Розв'язати нерівність: 4х2 + 4х + 1 ≤ 0. Первинне закріплення вивченого матеріалу Тренувальні вправи Запитання для самоперевірки У чому суть графічного способу розв'язування нерівностей другого степеня з однією змінною? Скільки розв'язків може мати квадратна нерівність? Наведіть відповідні графічні ілюстрації. Тренувальні вправи Тренувальні вправи Тренувальні вправи

https://svitppt.com.ua/algebra/logarifmi-ta-ih-vlastivosti.html

Логарифми та їх властивості

https://svitppt.com.ua/uploads/files/45/85dd3560a307c331a859ff825a509cea.pptx

files/85dd3560a307c331a859ff825a509cea.pptx

на тему: «Логарифми та їх властивості» Презентація відкритого заняття з дисципліни “Математика” Підготовлено викладачем-методистом Дзержинського гірничого технікуму Козловою Г.В. Перевірка домашнього завдання Поясніть правильну відповідь наступних завдань: Розв’яжіть рівняння Який вид має рівняння? Чи можна його розв’язати за загальною схемою? Чому? Чи має рівняння корені? Як це аргументувати? Яким наближеним способом можна розв’язати це рівняння? 2х = 7 у = 7 2,8 х  2,8 Отримуємо, що розв’язком рівняння Тема нашого заняття «Логарифм та його властивості» Логарифми важливі як зручний засіб при дослідженні показникових функцій і розв'язуванні пов'язаних з ними задач. На цьому занятті ми познайомимось з поняттям логарифма, його властивостями, основною логарифмічною тотожністю, будемо вчитися виконувати дії з логарифмами. Таким чином, необхідно вивчити дію, яка дозволяє за поданим значенням степеня додатного числа, що не дорівнює 1, знаходити показник цього степеня. Слайд з творчого проекту на тему «Практичне застосування логарифмічної та показникової функцій в різних галузях природознавства і математики» Логарифмом числа b > 0 з основою а, де а > 0, а  1, називається таке число с, що ас = b. Іншими словами, логарифм числа b за основою а — це показник, до якого треба піднести а, щоб дістати b. Символічно записують с = logа b. Таким чином, розв’язком рівняння є число х = log27 Можна сказати, що формули ас = b та с = logа b є рівносильними, оскільки подають одну й ту саму залежність між числами а, b і с. Приклад. 1) log232 = 5, оскільки 25 = 32; Десятковий логарифм – це логарифм за основою 10. Наприклад, lg1000 = 3, оскільки 103 = 1000. Основна логарифмічна тотожність Оскільки логарифм числа b з основою а є розв'язком рівняння ах = b , то маємо рівність Приклад Властивості логарифмів 1) При довільному a > 0, а  1,  Ці рівності випливають із співвідношень: а1 = а, а0 = 1. Наприклад, 1) log91 = 0, оскільки 90 = 1; 2) log5x = 0, х = 50 , х = 1. 3) log99 = 1, оскільки 91 = 9. 2) Логарифм добутку двох або кількох чисел дорівнює сумі логарифмів співмножників: Властивості логарифмів Нехай b, с – додатні числа. За основною логарифмічною тотожністю маємо Перемноживши ці рівності, дістанемо з іншого боку   що і треба було довести.  Властивості логарифмів Наприклад, 1) ln15 = ln(35) = ln3 + ln5; 2) lg20 + lg5 = lg(205) = lg100 = 2. Властивості логарифмів 3) Логарифм частки дорівнює різниці логарифмів чисельника і знаменника:    що і треба було довести.  Властивості логарифмів Наприклад, 4) Логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня на логарифм основи: Властивості логарифмів    що і треба було довести.  Властивості логарифмів Наприклад, Властивості логарифмів справджується формула: (формула переходу до іншої основи)   Наслідок. справджується формула: Как не правы те друзья, что утверждают смело: логарифмы – ерунда, не нужны для дела.Логарифмы – это всё:музыка и звуки, и без них никак нельзя обойтись в науке. Фізика - інтенсивність звуку (децибели). Астрономія – шкала яскравості зірок. Хімія – активність водневих іонів. Сейсмологія – шкала Ріхтера. Теорія музики – нотна шкала по відношенню до частот нотних звуків. Історія – логарифмічна шкала часу. Закріплення отриманих знань Вправа 1. Усно. Яка з наведених рівностей неправильна? Вправа 2. Усно. Який із наведених виразів не має змісту? Розв’язок. Вправа 4. Виразіть 1) lg 12 через lg3 та lg4; Розв’язок. 1) lg 12 = lg(3  4) = lg3 + lg 4; 3) lg8 = lg23=3lg2. 3) lg8 через lg2. Вправа 5. Знайдіть значення виразів. 2) lg25 + lg4 = 2) lg25 + lg4=lg254=lg100=2; Робота в парі Критерії оцінювання Кожне завдання оцінюється 1 балом. Якщо ви набираєте 1 - 4 бали, то рівень засвоєння низький, 5-6 – середній, 7-9 – достатній, 10-12 – високий. Розв'язок завдань 1. Перевірте правильність рівності: 2. Обчисліть: 3. Користуючись основною логарифмічною тотожністю, спростіть вираз: Критерії оцінювання Кожне завдання оцінюється 1 балом. Якщо ви набираєте 1 - 4 бали, то рівень засвоєння низький, 5-6 – середній, 7-9 – достатній, 10-12 – високий. Повідомлення домашнього завдання. вивчити ОК, [5], Гл.5, § 21, п.4, п.5, виконати вправи 5.12, 5.13 (5-8), 5.14 (3-6) с.207 Систематизація отриманих знань та вмінь Таким чином, після сьогоднішнього заняття ми повинні знати: означення логарифма та його запис; основну логарифмічну тотожність; основні властивості логарифмів; уміти: застосовувати отримані знання до розв’язання вправ Дякую за заняття

https://svitppt.com.ua/algebra/sistemi-nerivnostey-z-dvoma-zminnimi.html

Системи нерівностей з двома змінними

https://svitppt.com.ua/uploads/files/2/5c2a607859da28a066ab7e8de68b2299.pptx

files/5c2a607859da28a066ab7e8de68b2299.pptx

Презентація уроку: Системи нерівностей з двома змінними Укажіть нерівність, для яких пара (1;2) є розв’язком 1) -2x+y>3; 2) x²+y² ≥ 7; 3) x²+y²<5; 4) y-x²≥0; 5) y-x ≥1. 1)y≥X2+1 ; 3)y ≤ X2-1; 4) y ≤ X2+1;5)y> X2-1  x y 0 1 1 -1 Графік якої нерівності зображено на рисунку 2) y≥ X2-1; На якому малюнку зображено графіки: у≥│х-1│ 1 1 0 1 -1 0 1 1 0 1 -1 0 1 1 0 А) Б) В) Г) Д) У Х У Х У Х У Х У Х х у х у у х у -2 -2 2 2 2 2 0 0 0 0 - 2 А) Б) Г) Д) y<│x│+2 х  У Х У Х 0 У Х 0 У Х У Х 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 -1 -1 1 Г) (X-1)²+y²>4 Б) А) В) Д) X²+Y²≤9,X²+Y²≥1; y x Системи нерівностей з двома змінними Мета уроку : Навчитися розв’язувати системи нерівностей з двома змінними графічним способом, Закріпити уміння будувати графіки нерівностей з двома змінними. (1;2) є розв’язком кожної з нерівностей : у-х²≥0 і у-х≥1 (1;2) є розв’язком системи нерівностей у-х²≥0; у-х≥1. y-x2≥0 x y 0 1 1 y-x≥1 y x 0 -1 1 y-x2≥0y-x≥1 y x 0 -1 1 1 y-x2≥0 y-x≥1 х≥0, y≤1/3x; y x │x│≤2,│y│≤2; y x x²+y²≤9,y≤-1; y x x²+y²≤4,y≤-X; y x x²+y²≤4,x≤0,y≤0; y x X²+Y²<4,(X-3)²+Y²≤4; 4 Y X 0 5 -1 -2 3 X≥0, Y≥0,y<-x+2; y x y x 0 4 4 -4 -4 3 2 1 3 2 1 5 -3 -2 -1 -5 -3 -1 -2 y x 0 4 4 -4 -4 3 2 1 3 2 1 5 -3 -2 -1 -5 -3 -1 -2

https://svitppt.com.ua/algebra/stepin-rivnyannya-z-dvoma-zminnimi1.html

Степінь рівняння з двома змінними

https://svitppt.com.ua/uploads/files/35/95390be27066a3a81e43964e3dcd858b.pptx

files/95390be27066a3a81e43964e3dcd858b.pptx

Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 4 Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Аналітичний спосіб Метод інтервалів Степінь рівняння з двома змінними. Розв’язування систем рівнянь з двома змінними Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв’язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними Пункт 6.1 Пригадайте 1). Який многочлен називають многочленом стандартного вигляду? 2). Як визначити степінь многочлена? Степінь рівняння з двома змінними. Пункт 6.1 Многочлен стандартного вигляду 1). 2х=5у-2; 2х-5у+2=0; 2). х2-6ху=4; х2-6ху-4=0; 3). ху2+7х2=4ху2-2; ху2+7х2-4ху2-2=0; -3ху2+7х2+2=0; 4). х(3у2-ху3)+4=х2-5х2у3; 3ху2-х2у3+4-х2+5х2у3=0; 4х2у3+3ху2-х2+4=0. Степінь рівняння з двома змінними Пункт 6.1 Якщо рівняння з двома змінними можна звести до зазначеного вигляду, то степенем цього рівняння називають степінь многочлена у його лівій частині, тобто сума показників степенів змінних у тому члені, де вона найбільша. Рівняння (1) - першого степеня; Рівняння (2) - другого степеня; Рівняння (3) - третього степеня; Рівняння (4) – п'ятого степеня. Степінь рівняння з двома змінними 1). 2х-5у+2=0; 2). х2-6ху-4=0; 3). -3ху2+7х2+2=0; 4). 4х2у3+3ху2-х2+4=0. Пункт 6.1 Рівняння, всі члени якого мають однаковий степінь, а вільний член дорівнює нулю, називається однорідним. Наприклад, 1). 2х-5у=0; 2). 2х2-4у2+3ху=0 Однорідні рівняння Пункт 6.1 Коефіцієнти a, b, c не можуть дорівнювати нулю одночасно, бо тоді рівняння буде не другого а першого степеня. Розв'язком рівняння з двома змінними є пара значень змінних, що задовольняє це рівняння. Загальний вигляд повного рівняння другого степеня з двома змінними: ax2+bxy+cy2+dx+ey+k=0 Пункт 6.1 1). 2х2-3ху+4у2=4 2). 5х2-4у2-2х+7у+9=0 3). 6у2+ху-5х2=7 4). х3+3у2+2ху=0 5). 3ху2+4у+7=0 6). ху3-х2+3у=0 Визначити степінь рівняння Пункт 6.1 1). х2-3ху+у2=0 2). х2-3ху+4у2=0 3). х2-3ху+у2=2х 4). х2-3ху+у2=1 5). х2-3ху+у=0 6). х2-3ху+4у=0 Вказати однорідні рівняння Запитання для самоперевірки 1). Як визначити степінь рівняння з двома змінними? 2). Які рівняння називаються однорідними? 3). Що є розв'язком рівняння з двома змінними? Як його записують?

https://svitppt.com.ua/algebra/rozvyazuvannya-irracionalnih-rivnyan1.html

Розв’язування ірраціональних рівнянь

https://svitppt.com.ua/uploads/files/33/76167f56d10f16b862b7a2402f6188ed.pptx

files/76167f56d10f16b862b7a2402f6188ed.pptx

Розв’язування ірраціональних рівнянь Урок-подорож 7 чудес світу Девіз уроку: Скажи мені – і я забуду. Покажи мені – і я запам’ятаю. Дай мені діяти самому – і я навчуся. 1. Яке рівняння називають ірраціональним? Актуалізація опорних знань 2. Назвати основні способи розв’язання ірраціональних рівнянь. Актуалізація опорних знань 3. Який смисл мають корені, що входять в ірраціональні рівняння? Актуалізація опорних знань 4. Знайти ОДЗ рівняння: а) б) Актуалізація опорних знань 5. Спростити вираз: а) б) Актуалізація опорних знань Зупинка 1 Греція Завдання №1. Перевірити, які з даних чисел є коренями даного рівняння: Зупинка 1 Статуя Зевса, греція Зупинка 2 1 2 3 4 Завдання №2 Розмістити числа в порядку зростання: . Зупинка 2 Храм Артеміди в Ефесі Зупинка 3 Галікарнас 1 2 3 4 Завдання №3 Розв’язати рівняння: . Зупинка 3 Мавзолей в галікарнасі Зупинка 4 острів Родос 1 2 3 4 Завдання №4 Розв’язати рівняння і збільшити його корінь у 6 разів. . Зупинка 4 Колос родоський Зупинка 5 Александрія о.Фарос 1 2 3 4 5 Завдання №5 Довести, що рівняння не мають коренів: . Зупинка 5 Фароський маяк, александрія Зупинка 6 Єгипет 1 2 3 4 5 6 Завдання №6 Розв’язати рівняння: . Зупинка 6 Піраміда хеопса Зупинка 7 1 2 3 4 5 6 7 Вавилон Завдання №7 Розв’язати рівняння: . Зупинка 7 Висячі сади семіраміди Завдання додому: п. 16,17 № 136 (1); №141 (3). Кінець уроку 1 2 3 4 5 6 7

https://svitppt.com.ua/algebra/stepeneva-funkciya-z-naturalnim-pokaznikom1.html

Степенева функція з натуральним показником

https://svitppt.com.ua/uploads/files/35/32c939f3570dbb9caaad011e43ba0466.pptx

files/32c939f3570dbb9caaad011e43ba0466.pptx

Алгебра і початки аналізу. 10 клас(за підручником Мерзляк А. Г.) Тема уроку: Степенева функція з натуральним показником Степенева функція Властивості і графіки функцій y = x і y = x2 знайомі вам з попередніх класів. Ці функції є окремими випадками функції y = x n, n ∈ N, яку називають степеневою функцією з натуральним показником. Оскільки вираз x n, n ∈ N, має зміст при будь-якому x, то областю визначення степеневої функції з натуральним показником є множина R. Очевидно, що розглядувана функція має єдиний нуль x = 0. Подальше дослідження властивостей функції y = x n, n ∈ n, проведемо для двох випадків: n — парне натуральне число і n — непарне натуральне число. n = 2k, k ∈ N. При k = 1 отримуємо функцію y = x2. Оскільки при будь-якому x вираз x2k набуває тільки невід’ємних значень, то область значень розглядуваної функції не містить жодного від’ємного числа. Можна показати, що для будь-якого a ≥ 0 існує таке значення аргументу x, що x2k = a. Властивості степеневої функції з парним показником Областю значень функції y = xn, де n — парне натуральне число, є множина [0; +∞). Якщо x ≠ 0, то x2k > 0. Отже, проміжки (–∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції y = xn, де n — парне натуральне число. Функція y = xn, де n — парне натуральне число, є парною. Справді, для будь-якого x з області визначення виконується рівність (–x)2k = x2k. Функція y = xn, де n — парне натуральне число, спадає на проміжку (–∞; 0]. Функція y = xn, де n — парне натуральне число, зростає на проміжку [0; +∞). n — непарне натуральне число При n = 1 отримуємо функцію y = x, властивості і графік якої були розглянуті в 7 класі. 1). D(y)=R 2). E(y)=R 3). Функція непарна 4). Функція зростаюча 5). Графік функції – пряма, що є бісектрисою І та ІІІ чвертей 6). Графік перетинає осі координат в точці (0,0) 7). Найбільшого чи найменшого значення функція немає n = 2k + 1, k ∈ N Для будь-якого a існує таке значення аргументу x, що x2k + 1 = a. областю значень функції y = xn, де n — непарне натуральне число, є множина R. Якщо x < 0, то x2k + 1 < 0; якщо x > 0, то x2k + 1 > 0. проміжки (–∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції y = xn, де n — непарне натуральне число. Функція y = xn, де n — непарне натуральне число, є непарною. Функція y = xn, де n — непарне натуральне число, є зростаючою. Приклади Графік функції y = x3 Графік функції y = x5 Висновки Первинне закріплення вивченого матеріалу Яку функцію називають степеневою функцією з натуральним показником? Яка область визначення степеневої функції з натуральним показником? Сформулюйте властивості функції y = xn, де n — парне натуральне число. Як виглядає графік функції y = xn, де n — парне натуральне число? Сформулюйте властивості функції y = xn, де n — непарне натуральне число. Як виглядає графік функції y = xn, де n — непарне натуральне число? Тренувальні вправи Тренувальні вправи Тренувальні вправи Тренувальні вправи Домашнє завдання Читати § 9 Виконати вправи №№ 243, 245, 247, 249, 252, 255, 257, 259, 261 Повторити властивості степеневих функцій

https://svitppt.com.ua/algebra/suma-n-pershih-chleniv-geometrichnoi-progresii.html

Сума n перших членів геометричної прогресії

https://svitppt.com.ua/uploads/files/31/5e9a64d8784b26c6e82c0b1d79c0e610.pptx

files/5e9a64d8784b26c6e82c0b1d79c0e610.pptx

Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 6 Арифметична та геометрична прогресії Числові послідовності. Властивості числових послідовностей Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії Сума перших n членів арифметичної прогресії Геометрична прогресія. Формула n-го члена геометричної прогресії Сума перших n членів геометричної прогресії Нескінченна геометрична прогресія (|q| < 0) та її сума Розв’язування вправ Встановимо формулу для обчислення суми n перших члeнів геометричної прогресії (bn), позначивши цю суму Sn. Отже, Sn = b1 + b2 + b3 +... + bn b2 = b1q, b3 = b2q, b4 = b3q, ………….. bn-1 = bn-2q bn = bn-1q b2 + b3 + b4 +… + bn-1 + bn =(b1 + b2 + b3 + b4 +… + bn-1) q; b2 + b3 + b4 +… + bn-1 + bn= Sn - b1 b1 + b2 + b3 + b4 +… + bn-1= Sn – bn Sn - b1 =(Sn – bn)q Sn - b1 =Sn q – bnq Sn - Sn q = b1 – bnq; Sn (1-q)= b1 – bnq; Сума перших n членів геометричної прогресії Якщо q > 1, то доцільніше використовувати формулу у такому вигляді: Скориставшись рівністю bn = b1 qn-1 отримаємо ще один запис останньої формули: Приклад. Знайти суму перших шести членів геометричної прогресії: 4; 2; 1; .... Порада. Оскільки тут b1 = 4, a q = 1/2, то доцільно скористатися таким варіантом формули: Сума перших n членів геометричної прогресії Запитання для самоперевірки Запишіть варіанти формул для обчислення суми п перших членів геометричної прогресії. Поясніть, коли доцільно використовувати кожну з них. Формули суми перших n членів геометричної прогресії Пункт 11.2. Сума перших n членів геометричної прогресії

https://svitppt.com.ua/algebra/kvadratni-rivnyannya1.html

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

https://svitppt.com.ua/uploads/files/41/60f4f36c8708d614faba3cf1511ff142.pptx

files/60f4f36c8708d614faba3cf1511ff142.pptx

Подорож на планету МІФ, або все про квадратні рівняння Мета уроку: Систематизувати знання про розв'язування квадратних рівнянь та застосування їх до розв'язку прикладних задач; Розвивати варіативне мислення, обчислювальні навички Мені постійно доводиться ділити свій час між рівняннями і політикою, але перевагу я віддаю рівнянням, так як політика змінна, а рівняння вічні А. Енштейн Увага! Увага! Планета МІФ запрошує учнів 8 класу в заочну мандрівку. Вас чекає багато цікавого, але щоб вирушити в подорож, потрібно взяти з собою поклажу – знання. 1. Серед наведених рівнянь виберіть квадратне 2.Виберіть повне квадратне рівняння 3. Серед яких відповідей можуть бути корені даного рівняння 4) Коренів не має 4. Серед яких відповідей можуть бути корені рівняння ? 4) Коренів не має 5. Укажіть пару чисел яка є коренем рівняння 6. Скільки коренів має рівняння ? 1) Один корінь; 2) Два корені; 3) Три корені; 4) Жодного кореня 7. Яке з рівнянь має корені ? 1) 2) 3) 4) 8.За якою формулою не можна знайти корені квадратного рівняння ? 9. При якому значенні m в квадратному рівнянні обидва корені рівні між собою? 1) 4; 2) 2; 3) таких значень не існує; 4) тут така відповідь відсутня 10. При яких значеннях m добуток коренів квадратного рівняння дорівнює нулю? 1) 3; 2) - 5; 3; 3) 5; - 3; 4) - 3 за допомогою формули коренів квадратного рівняння; за допомогою оберненої теореми Вієта; розклавши на множники, використовуючи спосіб групування; розклавши на множники, виділивши повний квадрат; використавши графічний метод Розподіл праці в екіпажі Капітан Борт інженер Штурман Пілот Розв'язує одним із способів квадратне рівняння Допомагає капітану оформити розв'язок Визначає маршрут подорожі Проходить тестування Карта подорожі Пік Діофанта Кратер Ньютона Фізична Мис Піфагора Поетична Історична Не бійтесь робити помилки. В більшості випадків, зроблені в житті помилки допомагають нам зрозуміти межі своїх можливостей. І на кінець представляють собою той найбільш цінний досвід, який ми придбали по дорозі. Д. Пойа   Майбутній математик як і кожна людина вчиться за допомогою практики. Д. Пойа При розв’язуванні складних рівнянь потрібно знайти спосіб привести їх до більш простих Ф. Вієт Де є бажання, знайдеться і шлях Д. Пойа Математику не можливо вивчати спостерігаючи як це робить сусід. Нівен   Пам’ятайте, якщо Ви бажаєте навчитись плавати, то сміливо заходьте в воду, а якщо бажаєте навчитись розв’язувати рівняння, то розв’язуйте їх. Д. Пойа

https://svitppt.com.ua/algebra/totozhni-peretvorennya-viraziv-yaki-mistyat-koreni-ngo-stepenya1.html

Тотожні перетворення виразів, які містять корені n-го степеня

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/9f0fcabee0275b30338b41743a846d4f.ppt

files/9f0fcabee0275b30338b41743a846d4f.ppt

3 60   2 3

https://svitppt.com.ua/algebra/tablici-dilennya-na-i-na-obchislennya-znachen-viraziv-na-dvi-dii-rizno.html

Таблиці ділення на 2 і на 3. Обчислення значень виразів на дві дії різного ступеня

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/216e33d85cf528bc9f14bd36d223501a.ppt

files/216e33d85cf528bc9f14bd36d223501a.ppt

2*6=12 3*8=24 4 8 *2 2 3 5 9 6 *3 7 6 4 9 3 5 10

https://svitppt.com.ua/algebra/trigonometrichni-formuli-podviynogo-argumentu-klas.html

Тригонометричні формули подвійного аргументу 10 клас

https://svitppt.com.ua/uploads/files/28/0b9aff049927212c5c9fd7719c8f40a1.ppt

files/0b9aff049927212c5c9fd7719c8f40a1.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/dekartovi-koordinati-na-ploschini.html

Декартові координати на площині

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/9f356068597bc3ed8a9bc041cb9906a6.ppt

files/9f356068597bc3ed8a9bc041cb9906a6.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/trigonometrichni-funkcii2.html

Тригонометричні функції

https://svitppt.com.ua/uploads/files/34/337c14b05d5167c543bbcacc63750759.ppt

files/337c14b05d5167c543bbcacc63750759.ppt

Y 1 -1 y = sin x y = sin x + 2 2 Y 1 -1 y = cos x y = cos x - 1 2 Y 1 -1 y = sin x 2 Y 1 -1 y = cos x Y 1 -1 y = sin x y = 2sin x Y 1 -1 y = sin x y = sin 2x Y 1 -1 y = sin x y = 2sin x y = 2sin x + 1 Y 1 -1 y = cos x y = 0.5cos x y = 0.5cos x + 2

https://svitppt.com.ua/algebra/tematichna-kontrolna-robota-z-temi-kvadratni-rivnyannya-formula-koreni.html

Тематична контрольна робота з теми «Квадратнi рiвняння. Формула коренів квадратного рiвняння. Теорема Вiєта»

https://svitppt.com.ua/uploads/files/44/220d56b9fa68220a20504eb878d4dcb7.ppt

files/220d56b9fa68220a20504eb878d4dcb7.ppt

a) a)

https://svitppt.com.ua/algebra/dilennya.html

Ділення

https://svitppt.com.ua/uploads/files/12/fe4910c98d09007519dd795cb36328cf.ppt

files/fe4910c98d09007519dd795cb36328cf.ppt

23 : 2 = 115 1,79 : 2 = 0895 0,18 : 2 = 009 13 : 8 = 1625 1,84 : 8 = 023 39,3 :3 +2,4 :5 13,1 15,5 3,1

https://svitppt.com.ua/algebra/uporyadkovani-pidmnozhini-danoi-mnozhini-rozmischennya-mnozhin.html

Упорядковані підмножини даної множини. Розміщення множин.

https://svitppt.com.ua/uploads/files/29/beec1e460ab7b830ce9a27893d900c9b.ppt

files/beec1e460ab7b830ce9a27893d900c9b.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/trigonometrichni-formuli-podviynogo-argumentu.html

Тригонометричні формули подвійного аргументу

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/15177ab770774acdcc98c2d53aff12a0.ppt

files/15177ab770774acdcc98c2d53aff12a0.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/strichka-mebiusa.html

Стрічка Мебіуса

https://svitppt.com.ua/uploads/files/28/5a1e75b17550a6a009c9ad8a80f091ab.ppt

files/5a1e75b17550a6a009c9ad8a80f091ab.ppt

17 3 200 8 4

https://svitppt.com.ua/algebra/ponyattya-pro-chisla-fibonachchi.html

Поняття про числа Фібоначчі

https://svitppt.com.ua/uploads/files/28/af342c2990dbd1956157eed51f9b334f.ppt

files/af342c2990dbd1956157eed51f9b334f.ppt

Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level

https://svitppt.com.ua/algebra/dilennya-drobiv.html

Дiлення дробiв

https://svitppt.com.ua/uploads/files/44/6d57e2e8c8bde14e7815c816c9472773.ppt

files/6d57e2e8c8bde14e7815c816c9472773.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/dilennya-skladenih-imenovanih-chisel-na-dvocifrove-chislo-rozvyazuvannya-zadach.html

Ділення складених іменованих чисел на двоцифрове число. Розв'язування задач

https://svitppt.com.ua/uploads/files/12/d4e391139a4fe8ffd9bf7b6d3d182383.ppt

files/d4e391139a4fe8ffd9bf7b6d3d182383.ppt

Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level 2 26 25 4 = 20 19 5 = 33 125 8 3 = 2600 1900 99000 146 1707 4

https://svitppt.com.ua/algebra/trigonometrichni-rivnyannya-u-vakuumi.html

Тригонометричні рівняння у вакуумі

https://svitppt.com.ua/uploads/files/37/f34a992cb833326e912f0371e692b59c.ppt

files/f34a992cb833326e912f0371e692b59c.ppt

. 12 , 2 9 , 7 , 3 , 4 , 6 , 4 9 , 3 7 , 6 13 , 2 , 6 11 , 4 7 , 3 5 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 6 7 , , 6 5 , 4 3 , 3 2 , 2 , 3 , 4 , 6 , 0 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p - - - . 12 , 2 9 , 7 , 3 , 4 , 6 , 4 9 , 3 7 , 6 13 , 2 , 6 11 , 4 7 , 3 5 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 6 7 , , 6 5 , 4 3 , 3 2 , 2 , 3 , 4 , 6 , 0 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p - - - . 12 , 2 9 , 7 , 3 , 4 , 6 , 4 9 , 3 7 , 6 13 , 2 , 6 11 , 4 7 , 3 5 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 6 7 , , 6 5 , 4 3 , 3 2 , 2 , 3 , 4 , 6 , 0 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p - - - . 12 , 2 9 , 7 , 3 , 4 , 6 , 4 9 , 3 7 , 6 13 , 2 , 6 11 , 4 7 , 3 5 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 6 7 , , 6 5 , 4 3 , 3 2 , 2 , 3 , 4 , 6 , 0 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p - - - . 12 , 2 9 , 7 , 3 , 4 , 6 , 4 9 , 3 7 , 6 13 , 2 , 6 11 , 4 7 , 3 5 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 6 7 , , 6 5 , 4 3 , 3 2 , 2 , 3 , 4 , 6 , 0 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p - - - . 12 , 2 9 , 7 , 3 , 4 , 6 , 4 9 , 3 7 , 6 13 , 2 , 6 11 , 4 7 , 3 5 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 6 7 , , 6 5 , 4 3 , 3 2 , 2 , 3 , 4 , 6 , 0 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p - - - . 12 , 2 9 , 7 , 3 , 4 , 6 , 4 9 , 3 7 , 6 13 , 2 , 6 11 , 4 7 , 3 5 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 6 7 , , 6 5 , 4 3 , 3 2 , 2 , 3 , 4 , 6 , 0 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p - - - . 12 , 2 9 , 7 , 3 , 4 , 6 , 4 9 , 3 7 , 6 13 , 2 , 6 11 , 4 7 , 3 5 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 6 7 , , 6 5 , 4 3 , 3 2 , 2 , 3 , 4 , 6 , 0 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p - - - . 12 , 2 9 , 7 , 3 , 4 , 6 , 4 9 , 3 7 , 6 13 , 2 , 6 11 , 4 7 , 3 5 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 6 7 , , 6 5 , 4 3 , 3 2 , 2 , 3 , 4 , 6 , 0 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p - - - . 12 , 2 9 , 7 , 3 , 4 , 6 , 4 9 , 3 7 , 6 13 , 2 , 6 11 , 4 7 , 3 5 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 6 7 , , 6 5 , 4 3 , 3 2 , 2 , 3 , 4 , 6 , 0 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p - - - 0 1 0 0 0 1 0 -1 2) 1) 3) 4) . 2 ; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ; ; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6 p p p p p p p p p p p p . 2 ; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ; ; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6 p p p p p p p p p p p p . 2 ; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ; ; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6 p p p p p p p p p p p p . 2 ; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ; ; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6 p p p p p p p p p p p p . 2 ; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ; ; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6 p p p p p p p p p p p p . 2 ; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ; ; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6 p p p p p p p p p p p p . 2 ; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ; ; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6 p p p p p p p p p p p p . 2 ; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ; ; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6 p p p p p p p p p p p p 1) 2) 4) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) 1) 2) 3) . 5) 6) 7) 1) 2) 3) 4) 5) 1) 3) 2) 4) 5) 1) 2) 3) 7) 1) 2) 1) 2) 1) 2) 1)

https://svitppt.com.ua/algebra/dilennya-dvocifrovogo-chisla-na-odnocifrove-vidu-1.html

Ділення двоцифрового числа на одноцифрове виду 39:3

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/6c80418dc1bbeb629bd5d097a61a29fa.ppt

files/6c80418dc1bbeb629bd5d097a61a29fa.ppt

52:4 28:2 84:6 39:9 98:7 39 : 3 = 13 30 + 9 10 + 3 26:2=(20+6):2=20:2+6:2=10+3=13 64:2 86:2 84:4 24:2 55:5 42:2 52:4 28:2 84:6 39:9 98:7 39 : 3 = 13 30 + 9 10 + 3 26:2=(20+6):2=20:2+6:2=10+3=13 64:2 86:2 84:4 24:2 55:5 42:2 52:4 28:2 84:6 39:9 98:7 39 : 3 = 13 30 + 9 10 + 3 26:2=(20+6):2=20:2+6:2=10+3=13 64:2 86:2 84:4 24:2 55:5 42:2 52:4 28:2 84:6 39:9 98:7 39 : 3 = 13 30 + 9 10 + 3 26:2=(20+6):2=20:2+6:2=10+3=13 64:2 86:2 84:4 24:2 55:5 42:2 52:4 28:2 84:6 39:9 98:7 39 : 3 = 13 30 + 9 10 + 3 26:2=(20+6):2=20:2+6:2=10+3=13 64:2 86:2 84:4 24:2 55:5 42:2 52:4 28:2 84:6 39:3 98:7 39 : 3 = 13 30 + 9 10 + 3 26:2=(20+6):2=20:2+6:2=10+3=13 64:2 86:2 84:4 24:2 55:5 42:2 52:4 28:2 84:6 39:3 98:7 39 : 3 = 13 30 + 9 10 + 3 26:2=(20+6):2=20:2+6:2=10+3=13 64:2 86:2 84:4 24:2 55:5 42:2

https://svitppt.com.ua/algebra/dilennya-vidu-3.html

Ділення виду 360 : 3

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/9e44d1ecc4e3c9c10cb12b030c88b35a.ppt

files/9e44d1ecc4e3c9c10cb12b030c88b35a.ppt

220:2= 380:2= 440:4= 630:3= 860:2= 880:4= 930:3= 420:2= 770:7= 280:2= 390:3= 960:3= - + : *

https://svitppt.com.ua/algebra/dilennya-racionalnih-chisel1.html

Ділення раціональних чисел

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/3c96355bc7858386321ab6d25259f1a7.ppt

files/3c96355bc7858386321ab6d25259f1a7.ppt

2 N Q Z 0 1 146 16 0,2 9,0(223) 3 -1 |0| = 0 -6 -8 15 3 18 -1 -60 42 -9 36 -4 0 4 9 8 -13 -2 5 -12 25 2 7 56 -14 11 -10 1 -36 100 14 

https://svitppt.com.ua/algebra/dilennya-dvocifrovih-chisel-na-dvocifrovi.html

Ділення двоцифрових чисел на двоцифрові

https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/4849680f115f6b5fae5ba2326b50a879.ppt

files/4849680f115f6b5fae5ba2326b50a879.ppt

- + : *

https://svitppt.com.ua/algebra/diferencialne-ta-integralne-chislennya-diferencialni-rivnyannya.html

Диференціальне та інтегральне числення. Диференціальні рівняння.

https://svitppt.com.ua/uploads/files/23/e73178144ceb4664c8ec2d90ee07b461.ppt

files/e73178144ceb4664c8ec2d90ee07b461.ppt

(t) N M y x y x 0 .

https://svitppt.com.ua/algebra/urok-podorozh-uchniv-do-kraini-zvichayni-drobi.html

Урок – подорож учнів до країни “Звичайні дроби”

https://svitppt.com.ua/uploads/files/33/d3fcd82c58543f17fee8e3ef903dfa95.ppt

files/d3fcd82c58543f17fee8e3ef903dfa95.ppt

Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Company Logo Click to edit Master title style www.themegallery.com LOGO Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Click to edit Master title style Company Logo www.themegallery.com 5 6 7 9 25 23 6 11 15 26 2 2 12 7 8 12 30 19 97 95 6 5 1 2 5 6 7 9 25 23 6 11 15 26 2 2 12 7 8 12 30 19 97 95 6 5 1 2 6 4 2 0 6 4 2 0 ; 6 4 2 0 6 4 2 1 4-5 6-7 8-9 10-11 12-13 14-15 16-17 18-19 20-21 22-23 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

https://svitppt.com.ua/algebra/pohidna-pokaznikovoi-ta-logarifmichnoi-funkciy.html

Похідна показникової та логарифмічної функцій

https://svitppt.com.ua/uploads/files/10/b4fd5808ed810b733d96bb14feaadd75.ppt

files/b4fd5808ed810b733d96bb14feaadd75.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/pobudova-grafikiv-metodom-elementarnih-peretvoren1.html

Побудова графіків методом елементарних перетворень

https://svitppt.com.ua/uploads/files/27/1e5236252c9a0a190ef4247440b90aa0.ppt

files/1e5236252c9a0a190ef4247440b90aa0.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/pohidna-trigonometrichnih-funkciy.html

Похідна тригонометричних функцій

https://svitppt.com.ua/uploads/files/10/cf3018cb3ae1bc180b816c671f33a4a8.ppt

files/cf3018cb3ae1bc180b816c671f33a4a8.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/trigonometrichni-rivnyannya-ta-funkcii.html

Тригонометричні рівняння та функції

https://svitppt.com.ua/uploads/files/28/de20f8f127512bac1e4ac21c21a166ab.ppt

files/de20f8f127512bac1e4ac21c21a166ab.ppt

 +

https://svitppt.com.ua/algebra/dilennya-vidu-zo-rozvyazuvannya-prostih-i-skladenih-zadach.html

Ділення виду 80 : 20, 600 : ЗО. Розв’язування простих і складених задач

https://svitppt.com.ua/uploads/files/31/30eba6203af7958bad37c87b7b6e30f3.ppt

files/30eba6203af7958bad37c87b7b6e30f3.ppt

12 27 15 18 38 28 30 32 12 27 6 9 15 21 24 3 18 24 38 28 34 30 26 32 22 36 600:30 90:30 100:20 80:40 60:20 100:50 800:400 800:40 800:4

https://svitppt.com.ua/algebra/vidatni-matematiki2.html

Видатні математики

https://svitppt.com.ua/uploads/files/23/aace7c970741d10b7d69670d3cf9112f.ppt

files/aace7c970741d10b7d69670d3cf9112f.ppt

https://svitppt.com.ua/algebra/rivnyannya1.html

Рівняння

https://svitppt.com.ua/uploads/files/25/6ea6b1bf89682bf796ad968d1f25f014.pptx

files/6ea6b1bf89682bf796ad968d1f25f014.pptx

Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 4 Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Аналітичний спосіб Метод інтервалів Степінь рівняння з двома змінними. Розв’язування систем рівнянь з двома змінними Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв’язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними Пункт 6.2. Розв’язування систем рівнянь з двома змінними Аналітичні способи. Приклади Графічний спосіб. Приклади Пригадайте 1). В якому випадку два лінійні рівняння з двома змінними утворюють систему рівнянь? 2). Що є розв'язком системи двох лінійних рівнянь з двома змінними? Пункт 6.2. Розв’язування систем рівнянь з двома змінними Систему рівнянь другого степеня з двома змінними можуть утворювати два рівняння, кожне з яких є рівнянням другого степеня, або одне з них є рівнянням другого степеня а інше – рівнянням першого степеня. Розв'язок такої системи – це пара значень змінних, яка задовольняє обидва рівняння системи. Способи розв'язування систем: Підстановки Додавання Деякі штучні прийоми Пункт 6.2. Аналітичні способи Приклад 1. Розв'язати систему рівнянь: І спосіб. Таку систему зручно розв'язувати способом підстановки. З першого рівняння виразимо змінну у через х і підставимо отриманий вираз у друге рівняння. Відповідь. (-2; 8) і (8; -2) Пункт 6.2. Аналітичні способи Приклад 1. Розв'язати систему рівнянь: Відповідь. (-2; 8) і (8; -2) ІІ спосіб. Рівняння системи є, по суті, сумою і добутком двох невідомих чисел. Тому, за теоремою, оберненою до теореми Вієта, можемо утворити квадратне рівняння, коренями якого є ці числа. z2-6z-16=0. Знаходимо його корені: z1=-2; z2=8. Отже, або і або і Пункт 6.2. Аналітичні способи Приклад 2. Розв'язати систему рівнянь: Помножимо обидві частини другого рівняння на 2 і додамо почленно рівняння нової системи. Отже, дана система рівносильна сукупності таких двох систем: Пункт 6.2. Аналітичні способи Приклад 2. Розв'язати систему рівнянь: Розв'язуючи кожну з них отримаємо розв'язки першої системи: (4; 2) і (2; 4); розв'язки другої системи: (-4; -2) і (-2; -4). Відповідь. (-4; -2), (-2; -4), (4; 2), (2; 4). Пункт 6.2. Аналітичні способи Приклад 3. Розв'язати систему рівнянь: Розкладемо ліві частини обох рівнянь на множники. Оскільки (інакше праві частини обох рівнянь дорівнювали б нулю), то поділимо відповідні частини рівняння одна на одну. Підставимо це значення х у друге рівняння останньої системи Відповідь. (3; 1), (-3; -1). Графічний спосіб Приклад 1. Розв'язати систему рівнянь: Розв'яжемо дану систему рівнянь графічним способом. Побудуємо графіки рівнянь системи, тобто графіки функцій у = х2 + 3 і у = - х+5. Координати точок прямої є розв'язками рівняння х+у=5, а координати точок параболи у = х2 + 3 – розв'язками рівняння у - х2 = 3. Точки А (-2; 7) і В (1; 4) належать як прямій, так і параболі, тобто є спільними для них. Тому координати точок А і В є розв'язками даної системи. Відповідь. (-2; 7) і (1; 4) Приклад 1 Приклад 2 Приклад 3 Приклад 4 Приклад 5 Приклад 6 Приклад 7 Запитання для самоперевірки Які рівняння можуть утворювати систему двох рівнянь другого степеня з двома змінними? Як встановити,чи є дана пара чисел розв'язком системи двох рівнянь другого степеня з двома змінними? Які ви можете назвати способи розв'язування систем двох рівнянь другого степеня з двома змінними? Поясніть їх суть на прикладах.