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|---|---|
write the prime factorization @xmath73 . | 素因数分解 @ xmath73 を書き出します. |
for all @xmath74 , let @xmath75 be the multiplicative order of @xmath76 , let @xmath77 be the multiplicative order of @xmath78 , and
let @xmath79 . | @xmath74のすべてに対して, @xmath75を @xmath76の倍数順に, @xmath77を @xmath78の倍数順に, @xmath79を |
then @xmath80 where @xmath81 in the statement above , the action on @xmath71 defining the semidirect product is the action of @xmath68 by conjugation on the subgroup @xmath82 in @xcite , it was shown that the function @xmath72 is an element of the group generated by @xmath43 and @xmath44 . | 上の文の @xmath81 が @xmath71 の動作で半直積を定義する @xmath68 の動作で @xmath82 のサブグループに結合する @xmath80 が @xcite で @xmath72 が @xmath43 と @xmath44 によって生成されたグループの要素であることが示されました. |
this function clearly has order @xmath7 and generates the cyclic subgroup @xmath83 . | この関数は明らかに順序 @ xmath7 を有し,周期的なサブグループ @ xmath83 を生成します. |
this is a normal subgroup , since it is a fixed set under conjugation . | これは正規のサブグループで 結合の条件では固定集合である |
since @xmath84 is in @xmath42 , and @xmath43 and @xmath44
can be expressed in terms of the maps @xmath84 , @xmath85 , and @xmath86 , we have that @xmath87 as a subgroup of @xmath68 . | @xmath84は @xmath42に含まれていて, @xmath43と @xmath44は @xmath84, @xmath85, @xmath86のマップで表せますので, @xmath87は @xmath68のサブグループになります. |
moreover , @xmath88 and @xmath89 can be generated using @xmath43 , @xmath44 , and @xmath90 , so in fact @xmath91 the first generator corresponds to the cyclic subgroup @xmath71 . | さらに, @ xmath88 と @ xmath89 は @ xmath43, @ xmath44, @ xmath90 を使って生成できるので,実際には @ xmath91 は最初の生成元と @ xmath71 の周期的なサブグループに一致します. |
we now only need to see what we obtain from multiplication by @xmath45 and @xmath35 . | @xmath45と@xmath35で掛けると得られる数だけ |
by the chinese remainder theorem , we have @xmath92 . | 余剰数定理では @xmath92 が得られます |
thus we can look at the action of multiplication by @xmath45 and @xmath35 on each component , and the action on the whole group @xmath42 will be the direct product of each of these . | グループ全体に対する作用はそれぞれに直接積分される. グループ全体に対する作用はそれぞれに直接積分される. |
let @xmath93 and @xmath94 be the corresponding exponent . | @xmath93と@xmath94を相乗乗数とする. |
since @xmath7 is relatively prime to @xmath45 , we know that @xmath95 is an odd prime . | @ xmath7は @ xmath45 に相対的に素数なので, @ xmath95 は奇数素数であることが分かります. |
thus @xmath96 , the group of units of @xmath97 , is cyclic . | したがって,xmath96の単位群は周期的である. |
let @xmath98 be the order of @xmath45 and @xmath99 the order of @xmath35 in @xmath96 . | @xmath98は @xmath45の順番で @xmath99は @xmath96の順番で @xmath35になります. |
since the subgroup lattice of @xmath96 is isomorphic to the divisor lattice of @xmath100 , we have that @xmath101 , which concludes the proof . | @ xmath96 の子グループ格子が @ xmath100 の分母格子に同型であるので, @ xmath101 が証明を完了します. |
while theorem [ structure ] describes the overall structure of the groups , it would be useful to understand it as a finitely generated group in terms of the generators @xmath43 and @xmath44 ( mod @xmath7 ) . | 理論はグループ全体の構造を記述しますが, 変数 @ xmath43 と @ xmath44 (mod @ xmath7) の生成子で, 有限に生成されたグループとして理解することが有用です. |
we begin by calculating the orders of @xmath43 and @xmath44 in @xmath42 . | @xmath43と@xmath44の順序を @xmath42で計算します |
to do so , we introduce the auxiliary function @xmath102 . | そのために,補助関数 @ xmath102 を導入します. |
let @xmath103 and @xmath104 , and define @xmath105 by @xmath106 let @xmath107 . | @ xmath103と@ xmath104を定義し, @ xmath105を @ xmath106と @ xmath107で定義する. |
then straightforward calculation shows that @xmath108 , and in particular that @xmath109 and @xmath110 . | 単純計算では @xmath108 と特に @xmath109 と @xmath110 が |
thus , the @xmath102-orbit of a positive integer @xmath111 can be obtained by taking the @xmath1-orbit of @xmath112 and adding @xmath2 to each element of the orbit . | したがって,正の整数 @xmath111 の @xmath102-orbit は @xmath112 の @xmath1-orbit を取り, @xmath2 を各要素に足すことによって得られます. |
therefore the @xmath0 conjecture is equivalent to showing that the @xmath102-orbit of any positive integer @xmath111 contains the integer @xmath45 . | したがって,xmath0の推測は,正の整数 @xmath111の @xmath102軌道に @xmath45 が含まれていることを示すことと等しい. |
the conjugacy between @xmath1 and @xmath102 via @xmath113 makes computation of orbits somewhat easier : to compute the @xmath102-orbit of a positive integer @xmath111 , one first replaces any @xmath45 s in the prime factorization of @xmath4 with @xmath35 s , one at a time , until the result is odd . | @xmath1と@xmath102の @xmath113による結合は軌道計算を少し簡単にする: 陽の整数 @xmath111 の @xmath102-軌道を計算するには,まず @xmath4 の素因数分解の @xmath45 s を @xmath35 s で置き換える. |
at that point ,
one divides by @xmath45 and rounds up to the nearest integer , and repeats the process . | その時点で @ xmath45 で割って 整数まで丸め, プロセスを繰り返します |
for instance , the @xmath102-orbit of @xmath114 is @xmath115 which corresponds to the @xmath1-orbit of @xmath116 : @xmath117 [ orders ] let @xmath7 be a positive integer relatively prime to @xmath45 and @xmath35 . | 例えば, @ xmath114 の @ xmath102 軌道が @ xmath115 で, @ xmath116 の @ xmath1 軌道に対応します: @ xmath117 [ 順序 ] は @ xmath7 が @ xmath45 と @ xmath35 に相対的に素数であるとする. |
the order of @xmath43 in @xmath42 is equal to the order of @xmath45 modulo @xmath7 , and the order of @xmath44 in @xmath42 is equal to the order of @xmath118 modulo @xmath7 . | @xmath42の @xmath43の順序は @xmath45の @xmath7の順序に等しく, @xmath42の @xmath44の順序は @xmath118の @xmath7の順序に等しくなります. |
the order of @xmath43 in @xmath42 is equal to the order of @xmath119 modulo @xmath7 , which is equal to the order of @xmath45 modulo @xmath7 . | @xmath42の @xmath43の順序は @xmath119 modulo @xmath7の順序に等しい. これは @xmath45 modulo @xmath7の順序に等しい. |
for @xmath44
, we have that @xmath1 is conjugate to @xmath102 on the positive integers via the map @xmath84
. | @xmath44では @xmath1が @xmath84のマップで正の整数に @xmath102と結合している. |
therefore , @xmath1 and @xmath102 are also conjugate when considered as maps on @xmath64 . | したがって, @ xmath1 と @ xmath102 は @ xmath64 のマップとして考えるときも結合されます. |
in particular , the conjugacy sends @xmath43 to @xmath120 and @xmath44 to @xmath121 . | 特に @xmath43 を @xmath120 に @xmath44 を @xmath121 に送信します |
now , the order of @xmath44 in @xmath42 is equal to the order of @xmath121 in @xmath42 by the conjugacy , and the order of @xmath121 is equal to the order of @xmath118 modulo @xmath7 ( since @xmath122 ) . | @xmath42の @xmath44の順序は @xmath42の @xmath121の順序と @xmath121の順序は @xmath118の順序に等しい (これは @xmath122 ) から). |
this completes the proof . | これが証拠を完成させる |
in @xcite
, it was shown that @xmath42 acts transitively on @xmath64 , by showing that the map @xmath72 is in @xmath42 . | @xciteでは @xmath42が @xmath64に 移行的に作用することを @xmath72のマップが @xmath42にあることを示すことで示した. |
it is easy to check that the shortest representation for @xmath113 map in terms of the generators @xmath43 and @xmath44 is @xmath123 and the corresponding result for the map @xmath102 is @xmath124
for this section and the next , we require some notation and basic results involving back tracing . | @ xmath113のマップの最小表現は @ xmath43と @ xmath44のジェネレーターで @ xmath123と,マップの対応結果は @ xmath102で @ xmath124であることを確認するのは簡単です.このセクションと次のセクションでは,いくつかの表記と基本的な結果が必要になります. |
we generally follow the notation used in wirsching s book @xcite . | ワーチングの著書 @xcite にある記号を用いています |
define the set of _ feasible vectors _ to be @xmath125 let @xmath126 . | 可能なベクトルの集合を @ xmath125 と @ xmath126 と定義します. |
then @xmath127 for some nonnegative integers @xmath17 and @xmath128 . | 負でない整数 @xmath17 と @xmath128 の場合 |
the _ length _ of @xmath98 , written @xmath129 , is @xmath17 . | @ xmath98 の _ 長さは @ xmath129 と書くと @ xmath17 です. |
the norm of @xmath98 , written @xmath130 , is @xmath131 . | @xmath98のノルムは @xmath130と書かれています. |
for @xmath132 with @xmath127 , wirsching calls the function @xmath133 given by @xmath134 a _ back tracing function_. | @xmath132 と @xmath127 の場合,wirsching は @xmath134 が与えている @xmath133 関数を _ back tracing function_ と呼びます. |
if @xmath135 then we say @xmath98 is an _ admissible vector _ for @xmath4 , and that the corresponding back tracing function is a _
admissible _ for @xmath4 . | @ xmath135 の場合, @ xmath98 は @ xmath4 の _ 許容ベクトル _ で,対応する逆行関数は @ xmath4 の _ 許容ベクトル _ である. |
define @xmath136 wirsching also shows that if @xmath137 , then there is a unique congruence class @xmath38 mod @xmath138 with @xmath38 relatively prime to @xmath35 such that , if @xmath4 is any positive integer , @xmath98 is an admissible vector for @xmath4 if and only if @xmath139
. | define @xmath136 ワイアリングはまた,もし @xmath137 が存在し, @xmath38 mod @xmath138 と @xmath38 が @xmath35 に相対的に素数である場合, @xmath4 が正の整数である場合, @xmath98 が @xmath4 の許容ベクトルである場合と,ただし @xmath139 の場合のみであることを示しています. |
naturally it would be useful to strengthen the existence theorems in @xcite to determine how a given arithmetic sequence is distributed in the @xmath0 graph . | @xciteの存在定理を強化して @xmath0グラフで与えられた数列の分布を決定するのは当然有用です. |
more precisely , we wish to determine bounds for how far away the nearest element in a given arithmetic sequence @xmath140 is to a given positive integer @xmath4 . | より正確に言えば, 与えられた数列の @ xmath140 の最も近い要素が与えられた正の整数 @ xmath4 までの距離の境界を 求めたいのです. |
we do so by first making precise the general bounds that follow from the proof of @xcite , lemma 3.8 , and strengthen those bounds for the special case where @xmath39 is relatively prime to @xmath45 and @xmath35 . | まず @ xcite,レマ3.8 の証明から続く一般的境界を精密にし, @ xmath39 が @ xmath45 と @ xmath35 に相対的に素数である特殊なケースの境界を強める. |
in every case we show that the bounds obtained are independent of the choice of @xmath4 , proving that arithmetic sequences are in this sense uniformly distributed in the @xmath0 graph . | 取得した境界は @xmath4 の選択から独立していることが示され,この意味では @xmath0 グラフで数列が均等に分布していることが証明されます. |
we begin with the following bound for the length of a back tracing sequence to any modulus @xmath39 . | 任意のモジュール @xmath39 のバックトラッキングシーケンス長さの次の境界から始めます. |
let @xmath141 be a positive integer , and write @xmath142 where @xmath7 is relatively prime to @xmath45 and @xmath35 . | @ xmath141 を正の整数とし, @ xmath142 を書き, @ xmath7 は @ xmath45 と @ xmath35 の素数であるとする. |
let @xmath143 with @xmath144 , and let @xmath145 be the order of @xmath146 modulo @xmath7 . | @ xmath143 と @ xmath144 を,そして @ xmath145 は @ xmath146 の順序で @ xmath7 を乗算します. |
then any @xmath147 back traces to an element of @xmath140 via an admissible sequence of length at most @xmath148 . | 任意の @xmath147 は @xmath140 の要素に @xmath148 の長さの許容されるシーケンスで遡ります. |
this bound depends only on the modulus @xmath39 and not on the starting position @xmath4 . | この境界は,スタート位置 @xmath4 に依存せず,モジュール @xmath39 にのみ依存する. |
this shows that the arithmetic sequence @xmath140 is , in some sense , `` evenly distributed '' throughout the @xmath0 graph . | これは,数学的シーケンス @xmath140 が,ある意味, `` 均等に @xmath0 のグラフ全体に分布していることを示しています. |
in order to prove this we first prove the case where @xmath149 , obtaining a stronger bound in this situation . | この状況でより強いboundを得るために @xmath149 のケースを最初に証明します. |
the construction follows that of @xcite , lemma 2.8 . | 構造は @xcite, lemma 2.8 に従っている. |
we sketch the proofs here and refer the reader to @xcite for details . | @xciteの詳細を参考にしてください |
[ boundmodb ] let @xmath7 be a positive integer relatively prime to @xmath45 and @xmath35 , and let @xmath150 be any residue modulo @xmath7 . | [ boundmodb ] @ xmath7 は @ xmath45 と @ xmath35 に相対的に素数で, @ xmath150 は @ xmath7 の任意の残数で, |
let @xmath145 be the order of @xmath146 modulo @xmath7 . | @ xmath145 は @ xmath146 の順序で,その次数は @ xmath7 です. |
then for any positive integer @xmath4 relatively prime to @xmath35 , there exists a admissible vector @xmath151 for which @xmath152 and @xmath153 , such that @xmath154 from equation ( [ eq : x+1 ] ) we have that @xmath155 for any @xmath12 , and so trivially we have that @xmath156 let @xmath145 be the order of @xmath118 modulo @xmath7 , and let @xmath94 be the order of @xmath45 modulo @xmath7 . | 任意の正の整数 @xmath4 が @xmath35 に相対的に素数である場合, @xmath151 が許容されるベクトルがあり, @xmath152 と @xmath153 が許容されるベクトルであるため, @xmath154 は方程式 ([ eq: x+1 ]) から @xmath155 が任意の @xmath12 にあるように, @xmath156 は @xmath145 の順序で @xmath118 のモジュール @xmath7, @xmath94 は @xmath45 のモジュール @xmath7 の順序となるように, となる. |
notice that since @xmath35 is not congruent to @xmath45 mod @xmath7 , @xmath145 is at least @xmath45 , and similarly @xmath94 is at least @xmath45 . | @ xmath35 は @ xmath45 mod @ xmath7 と一致しないので, @ xmath145 は少なくとも @ xmath45 で,同様に @ xmath94 は少なくとも @ xmath45 です. |
we also have @xmath157 and @xmath158 in @xmath42 . | @xmath42の @xmath157と @xmath158も あります |
substituting , we obtain @xmath159 let @xmath160 , so that @xmath161 notice that @xmath162 . | 代入すると @ xmath159 が @ xmath160 に代入され, @ xmath161 が @ xmath162 に代入される. |
now , let @xmath4 be a positive integer relatively prime to @xmath35 , and define @xmath163 . | では, @ xmath4 が @ xmath35 に相対的に素数であるとする. そして @ xmath163 を定義する. |
since @xmath45 is a primitive root mod every power of @xmath35 ( see , for instance , @xcite ) ,
there is a positive integer @xmath17 for which @xmath164 . | @xmath45 は @xmath35 の原始根のモードであるので (例えば @xcite を参照) @xmath17 が @xmath164 である正の整数があります. |
hence @xmath165 . | 解き方: 解き方: 解き方: 解き方 |
it follows that any vector of the form @xmath166 , where the number of copies of @xmath167 is at most @xmath7 , is in @xmath168 as well . | @xmath166の形式のベクトルで @xmath167のコピー数が最大 @xmath7である場合も @xmath168 に含まれていることがわかります. |
let @xmath169 , and let @xmath170 . | @xmath169 と @xmath170 を入れます. |
then we have @xmath171 and @xmath172 finally , to see that @xmath153 , let @xmath173 and let @xmath174 then @xmath175 , which is an admissible sequence for @xmath4 , and so @xmath176 is admissible for @xmath177 . | 最後に @ xmath171 と @ xmath172 があります @ xmath153 は @ xmath173 と @ xmath174 は @ xmath175 で @ xmath4 の許容順序で @ xmath176 は @ xmath177 の許容順序です |
since @xmath176 has length at least @xmath2 , we have that @xmath177 is not divisible by @xmath35 , as desired . | @ xmath176 は少なくとも @ xmath2 の長さなので, @ xmath177 は @ xmath35 で割り切れない. |
with this lemma in hand
, we can now prove theorem [ boundmodb ] . | このレマを手にすると 定理を証明できます |
first , by lemma [ boundmodb ] , we can back trace from @xmath4 to some integer @xmath178 that is congruent to @xmath179 modulo @xmath7 via an admissible sequence of length at most @xmath180
. | まず,レマ [ boundmodb ] によって, @ xmath4 から @ xmath178 に一致する整数まで @ xmath179 modulo @ xmath7 までの許容可能な長さの配列を最大 @ xmath180 で遡ることができます. |
we can then apply @xmath181 to @xmath20 to obtain an integer @xmath182 that is congruent to @xmath179 modulo @xmath183 . | @xmath181を @xmath20にかけると @xmath182と @xmath179の対数 @xmath183の整数が得られます |
we wish to back trace from @xmath28 to an integer @xmath184 with @xmath185 and @xmath186 . | @xmath184の整数 @xmath185と @xmath186から 裏付けしたい |
following the arguments in @xcite , we can find a sequence @xmath187 of length at most @xmath188 for which @xmath189 . | @ xcite の引数に従って, @ xmath189 の長さで @ xmath188 の長さで @ xmath187 のシーケンスを見つけることができます. |
since @xmath45 is a primitive root mod @xmath190
, there is a power of @xmath45 , say @xmath14 , such that @xmath191 also has @xmath98 as an admissible vector and moreover @xmath192 ( c.f . | @xmath45 は @xmath190 の原始根であるので, @xmath45 の乗があるので,例えば @xmath14 は @xmath191 も @xmath98 を許容ベクトルとして持っていて,さらに @xmath192 (cf. |
@xcite , lemma 3.7 ) . | @xcite,レマ3.7 ) について |
thus , replacing @xmath98 by @xmath193 , we can set @xmath194 , and we are done . | @ xmath98 を @ xmath193 に置き換えて @ xmath194 を設定して完了します |
the total length of the back tracing sequence from @xmath4 to @xmath184 is then at most @xmath195 , as desired . | 望ましいように @ xmath4 から @ xmath184 までのバックトラッキングシーケンス全体の長さは,最大で @ xmath195 です. |
we can improve this bound in some special cases , particularly when @xmath45 is a primitive root modulo @xmath7 . | この境界を改善できるのは 特殊なケースで,特に @ xmath45 が @ xmath7 の原始根である場合です. |
since the only integers that can have a primitive root are @xmath45 , @xmath196 , @xmath197 , and @xmath198 where @xmath95 is an odd prime , this implies that @xmath7 must be a power of an odd prime . | 素根を持つことができる整数は @ xmath45, @ xmath196, @ xmath197, @ xmath198 のみで, @ xmath95 は奇数素数であるので,これは @ xmath7 が奇数素数の乗である必要があることを意味しています. |
[ backmodb ] let @xmath66 be a positive integer and @xmath95 be an odd prime greater than @xmath35 such that @xmath45 is a primitive root modulo @xmath197 . | @ xmath66 を正の整数とし, @ xmath95 を @ xmath35 より大きい奇数素数とし, @ xmath45 は @ xmath197 の原始根である. |
let @xmath38 be any residue modulo @xmath197 relatively prime to @xmath95 . | @xmath38は @xmath95の相対素数である @xmath197の任意の残数であるとする. |
then for any positive integer @xmath4 relatively prime to @xmath35 , there exists a admissible vector @xmath151 for which @xmath199 and @xmath153 , such that @xmath200 if @xmath4 is relatively prime to @xmath95 then since @xmath45 is a primitive root , there exists @xmath17 such that @xmath201 . | 素数 @xmath4 が @xmath35 に相対的に素数である場合, @xmath199 と @xmath153 が @xmath200 となるような @xmath151 の許容ベクトルが存在します. @xmath4 が @xmath95 に相対的に素数である場合, @xmath45 が素根であるため, @xmath17 が @xmath201 となるような @xmath17 が存在します. |
clearly @xmath202 since @xmath203 . | 明らかに @xmath202 から @xmath203 |
thus taking @xmath204 gives the desired result . | 求められた結果が得られます. |
if @xmath4 is not relatively prime to @xmath95 then since @xmath45 is a primitive root mod @xmath46 we can choose @xmath205 such that @xmath206 . | @xmath4 が @xmath95 に相対的に素数でない場合, @xmath45 が @xmath46 の素根であるので, @xmath205 を @xmath206 として選択できます. |
so @xmath207 is an integer that is relatively prime to both @xmath35 and @xmath95 . | だから @xmath207 は @xmath35 と @xmath95 に相対的に素数である整数です. |
thus there exists @xmath21 such that @xmath208 . | 存在しているので @xmath21 が @xmath208 である. |
thus taking @xmath209 gives the desired result . | 求められた結果が得られます. |
theorems [ boundmodb ] and [ backmodb ] allow us to back trace to an integer in a desired congruence class mod @xmath7 that is also not divisible by @xmath35 , so that we can continue back tracing to obtain more elements of the same congruence class . | 定理 [ boundmodb ] と [ backmodb ] は,同じ一致性クラスの要素をさらに取得するために,同じ一致性クラスの要素をさらに取得するために,同じ一致性クラスの要素を @ xmath35 で割り切れない,望ましい一致性クラスの mod @ xmath7 の整数まで遡ることができる. |
thus , there is an infinite back tracing sequence @xmath210 of elements in @xmath27 , satisfying @xmath211 for all @xmath212 , that contains infinitely many elements congruent to @xmath38 mod @xmath7 . | したがって, @ xmath27 の要素の無限回帰列 @ xmath210 があり, @ xmath212 のすべてに @ xmath211 を満たし, @ xmath38 mod @ xmath7 に一致する無限多くの要素を含んでいる. |
in section [ inverselimits ] ,
we study infinite back tracing sequences in further depth . | 逆極限では 逆極限の連続を 詳しく研究します |
we first define infinite back tracing sequences in terms of inverse limits of _ level sets _ in @xmath213 , defined as follows . | まず @ xmath213 の _ レベルセット _ の逆極限で 無限の逆行列を定義します |
let @xmath4 be a positive integer and let @xmath17 be a nonnegative integer . | @ xmath4 は正の整数で @ xmath17 は非負の整数であるとする. |
the _ @xmath17th level set of @xmath4 _ , which we denote @xmath214 , is the set of all positive integers @xmath20 for which @xmath215 . | @xmath214 と表す @xmath4 _ の _ @xmath17 階層集合は @xmath215 の正の整数の集合である @xmath20 です. |
this is a generalization of the notion of level set defined in @xcite , which referred only to the level sets of @xmath2 . | これは @ xcite で定義されたレベルセットの概念の概説であり, @ xmath2 のレベルセットのみを指している. |
let @xmath4 be a positive integer . | @ xmath4 を正の整数とする. |
consider the directed system @xmath216 where the map from @xmath217 to @xmath214 is given by @xmath1 . | @xmath216の導関数体系を @xmath1で @xmath217から @xmath214までのマップを考える. |
we define @xmath218 we also use the phrase _ infinite back tracing sequence from @xmath4 _ to refer to an element of @xmath219 , or simply _ infinite back tracing sequence _ when @xmath4 is understood . | @ xmath218 を定義すると @ xmath4 から _ infinite backtracing sequence という表現も @ xmath219 の要素を指すために使用します. @ xmath4 が理解されている場合は _ infinite backtracing sequence _ とも言います. |
some of the elements of the sets @xmath219 are rather simple to describe . | @xmath219 の集合の要素は 記述するのがかなり簡単です. |
for instance , recall that when @xmath4 is divisible by @xmath35 , one can only ever apply @xmath34 , as the result will never be congruent to @xmath45 mod @xmath35 . | 例えば @ xmath4 が @ xmath35 で割り切れる場合, @ xmath34 を適用するだけで, @ xmath45 mod @ xmath35 に一致する結果が得られることはないことを思い出してください. |
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